Giải mục 2 trang 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2

Cho vectơ $\overrightarrow u$ và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M qua phép tịnh tiến ${{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}$.

a) Hai vectơ ‘ có bằng nhau không?

b) Khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi như thế nào? Giải thích.

Phương pháp giải:

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có ${{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{A}} \right) = {\rm{A'}}$, suy ra $\overrightarrow {AA'}  = {\rm{\vec u}}$.

             ${{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{M}} \right) = {\rm{M'}}$, suy ra $\overrightarrow {MM'}  = {\rm{\vec u}}$.

Khi đó $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MM'} \,\,\,\left( { = {\rm{\vec u}}} \right)$.

Suy ra AA’ = MM’ và AA’ // MM’.

Vì vậy tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Vậy $\overrightarrow {{\rm{A'M'}}}  = \overrightarrow {AM}$.

b) Gọi d’ là giá của $\overrightarrow {{\rm{A'M'}}}$.

Vì A’M’ // AM (do tứ giác AMM’A’ là hình bình hành).

Nên d’ // d.

Vậy khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi trên d’ thỏa mãn $\overrightarrow {MM'}  = {\rm{\vec u}}$.

Quảng cáo

Thực hành 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow v }}$ với $\overrightarrow v  = (3;2).$

a) Biết ảnh của điểm M qua ${T_{\overrightarrow v }}$ là điểm M’(–8; 5). Tìm tọa độ điểm M.

b) Tìm ảnh của đường tròn $\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2}\; = {\rm{ }}4{\rm{ }}$qua ${T_{\overrightarrow v }}$.

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow u$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u$.

Nếu $M'(x';y')$ là ảnh của $M(x;y)$ qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ , $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)$ thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

a) Đặt $\;M\left( {x;{\rm{ }}y} \right).$Suy ra $\;\overrightarrow {MM'}  = ( - 8 - x;5 - y).$

Theo đề, ta có $M' = {T_{\overrightarrow v }}(M)\;.$.

Suy ra $\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v .$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} - 8 - x = 3\\5 - y = 2\end{array} \right.$

Vì vậy $\left\{ \begin{array}{l}\;x =  - 11\\y = 3\end{array} \right.$

Vậy tọa độ M(–11; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 4.

Gọi (C’), I’(x’; y’) lần lượt là ảnh của (C) và I qua ${T_{\overrightarrow v }}$.

Khi đó đường tròn (C’) có bán kính $R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}2$ và $\overrightarrow {II'}  = (x' - 2;y' + 3)$

Ta có $\;\overrightarrow {II'}  = \overrightarrow {v\;}$ (vì $I' = {T_{\overrightarrow v }}(I)$)

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x' - 2 = 3\\y' + 3 = 2\end{array} \right.$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}x' = 5\\y' =  - 1\end{array} \right.$

Suy ra tọa độ tâm đường tròn (C’) là $I'\left( {5;{\rm{ }}-1} \right).$

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình là: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4.$

Vận dụng 2

Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép biến hình nào?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ và suy luận để trả lời

Lời giải chi tiết:

Ta thấy ô tô được nâng từ vị trí A đến vị trí B.

Khi đó chiếc xe ô tô được tịnh tiến theo vectơ $\vec v = \overrightarrow {AB}$  từ mặt đất lên vị trí cần thiết.

Vậy người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép tịnh tiến theo $\vec v = \overrightarrow {AB}$.