Giải bài 3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho phép tịnh tiến ${T_{\vec u}}$ trong đó $\vec u = \left( {3;5} \right)$

a) Tìm ảnh của các điểm $\;A\left( {-3;{\rm{ }}4} \right),{\rm{ }}B\left( {2;{\rm{ }}-7} \right)\;$qua ${T_{\vec u}}$

b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua ${T_{\vec u}}$. Tìm tọa độ của điểm M.

c) Tìm ảnh của đường thẳng $d:{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ qua ${T_{\vec u}}$.

Lời giải chi tiết

a) Đặt $A'\left( {x';y'} \right) = {T_{\vec u}}\left( A \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {A{A'}}  = \vec u$ mà $\overrightarrow {AA'}  = \left( {x' + 3;y' - 4} \right)$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} + 3 = 3}\\{{\rm{y'}} - 4 = 5}\end{array}} \right.$

Vì vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} = 0}\\{{\rm{y'}} = 9}\end{array}} \right.$

Suy ra tọa độ A’(0; 9).

Đặt $B'\left( {x'';y''} \right) = {T_{\vec u}}\left( B \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {BB'}  = {\rm{\vec u}}$ mà $\overrightarrow {BB'}  = \left( {x'' - 2\;;\;{\rm{y''}} + 7} \right)$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x''}} - 2 = 3}\\{{\rm{y''}} + 7 = 5}\end{array}} \right.$

Vì vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x''}} = 5}\\{{\rm{y''}} =  - 2}\end{array}} \right.$

Suy ra tọa độ B’(5; –2).

Vậy ảnh của các điểm A, B qua ${T_{\vec u}}$ lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; –2).

b) Gọi $M({x_M};{\rm{ }}{y_M}).$

Theo đề, ta có $M' = {T_{\vec u}}\left( M \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {MM'}  = {\rm{\vec u}}$, mà $\overrightarrow {MM'}  = \left( {2 - {{\rm{x}}_{\rm{M}}}\;;\;6 - {{\rm{y}}_{\rm{M}}}} \right)$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - {{\rm{x}}_{\rm{M}}} = 3}\\{6 - {{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 5}\end{array}} \right.$

Vì vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\rm{x}}_{\rm{M}}} =  - 1}\\{{{\rm{y}}_{\rm{M}}} = 1}\end{array}} \right.$

Vậy tọa độ M(–1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Chọn điểm $N\left( {-1;{\rm{ }}1} \right) \in d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0.$

Gọi $N'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)$ lần lượt là ảnh của N qua ${T_{\vec u}}$

Ta có ${T_{\vec u}}\left( N \right) = N'$, suy ra $\overrightarrow {N{N'}}  = \vec u$ với $\overrightarrow {NN'}  = \left( {x' + 1;y' - 1} \right)$

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} + 1 = 3}\\{{\rm{y'}} - 1 = 5}\end{array}} \right.$

Vì vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x'}} = 2}\\{{\rm{y'}} = 6}\end{array}} \right.$

Suy ra tọa độ N’(2; 6).

Đường thẳng $d:{\rm{ }}4x-3y + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua ${T_{\vec u}}$ do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận ${\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có d’ là đường thẳng đi qua $M'\left( {2;{\rm{ }}6} \right)$ và có vectơ pháp tuyến ${\vec n_d} = \left( {4; - 3} \right)$ nên có phương trình là:

$4\left( {x-2} \right)-3\left( {y-6} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x-3y + 10 = 0.$

Vậy ảnh của đường thẳng $d:4x-3y + 7 = 0$ qua ${T_{\vec u}}$ là đường thẳng $d':4x-3y + 10 = 0.$