Giải bài tập 5.5 trang 102 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hình 5.14, cho hai đường tròn cùng tâm O, các điểm A, B, C, D thẳng hàng và $OH \bot AB\left( {H \in AB} \right)$.

a) Chứng minh rằng H là trung điểm của AB và CD.

b) Chứng minh rằng $AC = BD$.

c) Biết bán kính đường tròn lớn là 10cm, $CD = 16cm$ và $AB = 8cm$. Tính bán kính đường tròn nhỏ.

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O, OC) có: $OC = OD$ nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của CD. Do đó, $CH = HD$.

Xét (O, OA) có: $OA = OB$ nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của AB. Do đó, $AH = HB$.

b) Theo a ta có: $CH = HD$, $AH = HB$ nên $CH - HA = HD - HB$, suy ra $AC = BD$.

c) Ta có:

$\begin{array}{l}HD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}.16 = 8\left( {cm} \right),\\HB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.8 = 4\left( {cm} \right)\end{array}$.

Tam giác HOD vuông tại H nên

$O{H^2} + H{D^2} = O{D^2}$ (định lí Pythagore),

suy ra $O{H^2}$ $= O{D^2} - H{D^2}$ $= {10^2} - {8^2}$ $= 36\left( {cm} \right)$.

Tam giác HOB vuông tại H nên

$O{B^2} = O{H^2} + H{B^2} = 36 + {4^2} = 52$ (định lí Pythagore),

suy ra $OB = 2\sqrt {13} cm$.