Giải bài tập 4.7 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi \(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 160 - 9,8t\left( {m/s} \right)\). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất).

a) Sau \(t = 5\) giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải chi tiết

Gọi S(t) là độ cao của viên đạn bắn lên từ mặt đất sau t giây kể từ thời điểm đạn được bắn lên.

Vì \(v\left( t \right) = S'\left( t \right)\) nên độ cao S(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

Do đó, \(S\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt}  = \int {\left( {160 - 9,8t} \right)dt}  = 160t - 4,9{t^2} + C\)

Theo giả thiết, \(S\left( 0 \right) = 0\) nên \(C = 0\). Do đó, \(S\left( t \right) =  - 4,9{t^2} + 160t\) (m)

a) Độ cao của viên đạn sau 5 giây là: \(S\left( 5 \right) =  - 4,{9.5^2} + 160.5 = 677,5\left( m \right)\)

b) Ta có: \(S\left( t \right) =  - 4,9{t^2} + 160t = \frac{{ - 1}}{{10}}\left( {49{t^2} - 2.7.\frac{{800}}{7}t + \frac{{640000}}{{49}}} \right) + \frac{{64000}}{{49}}\)

\( = \frac{{ - 1}}{{10}}{\left( {7t - \frac{{800}}{7}} \right)^2} + \frac{{64000}}{{49}} \le \frac{{64000}}{{49}}\;\forall t \in \mathbb{R}\)

Do đó, viên đạn đạt độ cao lớn nhất là: \(\frac{{64000}}{{49}}m \approx 1306,1m\) khi \(t = \frac{{800}}{{49}}\) giây