Giải bài tập 4.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) $\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx$

b) $\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx$

c) $\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx$

d) $\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx$

Lời giải chi tiết

a)

$\int_0^1 {(3x + 1)} (x + 3){\mkern 1mu} dx = \int_0^1 {(3{x^2} + 10x + 3)} {\mkern 1mu} dx$

Tính từng tích phân:

$\int 3 {x^2}{\mkern 1mu} dx = {x^3},\quad \int 1 0x{\mkern 1mu} dx = 5{x^2},\quad \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x$

Vậy tích phân là:

$\left[ {{x^3} + 5{x^2} + 3x} \right]_0^1 = 9$

b)

$\int_{ - 5}^0 {({3^{x + 1}} - 2{e^x})} {\mkern 1mu} dx$

Tính từng tích phân:

$\int {{3^{x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}}$

$\int 2 {e^x}{\mkern 1mu} dx = 2{e^x}$

Tích phân là:

$\left[ {\frac{{{3^{x + 1}}}}{{\ln 3}} - 2{e^x}} \right]_{ - 5}^0 = \left( {\frac{{{3^1}}}{{\ln 3}} - 2{e^0}} \right) - \left( {\frac{{{3^{ - 4}}}}{{\ln 3}} - 2{e^{ - 5}}} \right)$

c)

$\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx$

Đầu tiên, ta sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức:

$\frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{(2{{\cos }^2}x - 1)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}$

Ta tách thành hai phần:

$I = 2\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx - \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx$

$\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \left[ { - \cot x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}$

$\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} dx = \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} dx = 4.\left[ { - \frac{1}{2}\cot 2x} \right]_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} = 4.\frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{4}{{\sqrt 3 }}$

Cuối cùng, kết quả của tích phân là:

$I = 0$

d)

$\int_1^2 {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx$

Sử dụng tích phân của hàm mũ:

$\int {{2^x}} {3^{x - 1}}{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\int {({6^x})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}$

Tính tích phân:

$\left[ {\frac{{{6^x}}}{{3\ln 6}}} \right]_1^2 = \frac{{{6^2}}}{{3\ln 6}} - \frac{6}{{3\ln 6}} = \frac{{12}}{{\ln 3}} - \frac{2}{{\ln 6}} = \frac{{10}}{{\ln 6}}$