Giải bài tập 2 trang 69 SGK Toán 9 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC ( AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường kính. Từ điểm O vẽ đường thẳng song song với AC và cắt đường tròn (O) tại I (điểm I thuộc cung nhỏ CB).

a) Chứng minh OI vuông góc với BC.

b) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và cắt OI tại M. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O) có:

$\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB, mà AB là đường kính của đường tròn (O).

$\widehat {ACB}$ = 90^o hay tam giác ABC vuông tại C, mà OI // AC (giả thiết).

Suy ra OI $\bot$ BC (quan hệ từ vuông góc – song song).

b) Vì OB = OC = R suy ra tam giác OBC cân tại O mà OI là đường cao của tam giác OBC.

Suy ra OI đồng thời là phân giác của tam giác OBC.

Suy ra $\widehat {COI} = \widehat {BOI}$  hay $\widehat {COM} = \widehat {BOM}$

Xét $\Delta$ COM và $\Delta$ BOM có:

OC = OB = R;

$\widehat {COM} = \widehat {BOM}$ (chứng minh trên);

OM chung.

Suy ra $\Delta$COM = $\Delta$BOM (c – g – c).

Do đó, $\widehat {OBM} = \widehat {OCM}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat {OBM}$ = 90^o (do MB là tiếp tuyến của đường tròn).

Suy ra $\widehat {OCM}$ = 90^o hay OM $\bot$ MC mà C thuộc đường tròn (O)

Suy ra MC là tiếp tuyến đường tròn (O).