Giải bài tập 2 trang 21 SGK Toán 9 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Giải các hệ phương trình

a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + y = 2}\\{\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}y = 1}\end{array}} \right.$

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y\sqrt 2 = 0}\\{2x + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.$

c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 }\\{x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.$

d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + y) + 3(x - y) = 4}\\{(x + y) + 2(x - y) = 5}\end{array}} \right.$

Lời giải chi tiết

a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + y = 2}\\{\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}y = 1}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 4x}\\{\frac{4}{3}x + \frac{1}{3}\left( {2 - 4x} \right) = 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2 - 4x}\\{0x = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\end{array}$

Phương trình 0x = $\frac{1}{3}$ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y\sqrt 2 = 0}\\{2x + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x = 3}\\{2x + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{2 + y\sqrt 2 = 3}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y\sqrt 2 = 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {1;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)$.

c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x\sqrt 3 + y = 2\sqrt 2 }\\{x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt 2$, ta được

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5x\sqrt 6 + y\sqrt 2 = 4}\\{x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2}\end{array}} \right.$

Cộng từng vế 2 phương trình của hệ, ta được $6\sqrt 6 x = 6$ , suy ra x = $\frac{1}{{\sqrt 6 }}$.

Thay x = $\frac{1}{{\sqrt 6 }}$ vào phương trình $x\sqrt 6 - y\sqrt 2 = 2$ ta được $1 - y\sqrt 2 = 2$. Do đó,

 y = $\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }};\frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right)$.

d) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + y) + 3(x - y) = 4}\\{(x + y) + 2(x - y) = 5}\end{array}} \right.$

Nhân hai vế phương trình thứ hai với 2, ta được

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2(x + y) + 3(x - y) = 4}\\{2(x + y) + 4(x - y) = 10}\end{array}} \right.$

Trừ từng vế 2 phương trình của hệ, ta được – (x – y) = - 6 , suy ra (x – y) = 6 (1)

Thay x – y = 6 vào phương trình 2(x + y) + 3(x – y) = 4 ta được 2(x + y) + 18 = 4

Suy ra x + y = - 7 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = - 7}\\{x - y = 6}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + y + y = - 7}\\{x = 6 + y}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{{ - 13}}{2}}\\{x = \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - 13}}{2}} \right)$.