Giải bài tập 1.38 trang 46 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Hóa học, xét một số phản ứng đơn giản một chiều có dạng:

aA+bB→cC+dDa

trong đó A,B,C,D là các chất hóa học và a,b,c,d là các hệ số cân bằng.

Theo định luật tác dụng khối lượng (M. Guldberg & P. Waage, 1864), tốc độ phản ứng hóa học được xác định bởi công thức: v=k[A]^a[B]^b

trong đó k là hằng số tốc độ phản ứng chỉ phụ thuộc vào bản chất của chất phản ứng và nhiệt độ; [A],[B] lần lượt là nồng độ mol của các chất A, B tại thời điểm đang xét (đơn vị mol/l).

Biết phương trình tạo ra khí nitrogen dioxide (NO₂) từ nitrogen monoxide (NO) và oxygen (O₂) như sau: 2NO+O₂→2NO₂.

Xác định nồng độ khí oxygen tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất, biết rằng tổng nồng độ của O₂ và NO là 1 (mol/l).

Lời giải chi tiết

Viết phương trình tốc độ phản ứng: $v = k{[NO]^2}[{O_2}]$

Đặt $[NO] = x$ và $[{O_2}] = 1 - x$ (tổng nồng độ là 1 mol/l).

Thay vào phương trình tốc độ ta có: $v = k{x^2}(1 - x)$

Tính đạo hàm: $v'(x) = k[2x(1 - x) + {x^2}( - 1)] = k(2x - 3{x^2})$

Giải phương trình $v' = 0$: $2x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0,{x_2} = \frac{2}{3}$ (loại ${x_1} = 0$ vì nồng độ phải dương).

Kiểm tra đạo hàm cấp hai để đảm bảo rằng đây là giá trị cực đại: $v''(x) = k(2 - 6x)$

Tại $x = \frac{2}{3}$:$v''\left( {\frac{2}{3}} \right) = k\left( {2 - 6.\frac{2}{3}} \right) = k(2 - 4) =  - 2k$

Nhận thấy tại $x = \frac{2}{3}$ thì giá trị của đạo hàm cấp hai là âm, đây là điểm cực đại.

Kết luận: Nồng độ khí oxygen $[{O_2}]$ tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất là $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ mol/l.