Giải bài tập 1.17 trang 22 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự f=30cm như hình 1.28. Trong vật lý, ta biết rằng nếu đặt vật thật AB cách quang tâm O của thấu kính một khoảng d(cm) lơn hơn 30cm thì được ảnh thật A’B’ cách quang tâm của thấu kính một khoảng d’(cm). Ngược lại, nếu 0<d<30 thì ta có ảnh ảo. Công thức thấu kính là \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{f}}}\)_.

a) Từ công thức thấu kính, tìm biểu thức xác định d’ theo d.

b) Xem biểu thức của d’ ở câu a là một hàm số theo d, kí hiệu là h(d). Tìm các đường tiệm cận của h(d).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\frac{1}{d} + \frac{1}{{d'}} = \frac{{\rm{1}}}{{\rm{f}}} = \frac{1}{{30}}\)

 \( \Rightarrow \frac{1}{{d'}} = \frac{{\rm{1}}}{{30}} - \frac{1}{d} = \frac{{d - 30}}{{30d}}\)

\( \Rightarrow d' = \frac{{30d}}{{d - 30}}\)

b) Ta có \(h(d) = \frac{{30d}}{{d - 30}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } h\left( d \right)\;\; = \mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } \frac{{30}}{{1 - \frac{3}{d}}} = 30\;\)

Suy ra y = 30 là đường tiệm cận ngang của hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{d \to {{30}^ + }} h\left( d \right)\;\; = \mathop {\lim }\limits_{d \to {{30}^ + }} \frac{{30d}}{{d - 30}} =  + \infty \;,\mathop {\lim }\limits_{d \to {{30}^ - }} h\left( d \right)\;\; = \mathop {\lim }\limits_{d \to {{30}^ - }} \frac{{30d}}{{d - 30}} =  - \infty \;\)

Suy ra x = 30 là đường tiệm cận đứng của h(d).