Giải bài 7.27 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Vị trí của một chất điểm M tại thời điểm t (t trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có tọa độ là $\left( {3 + 5\sin {t^ \circ };4 + 5cos{t^ \circ }} \right)$. Tìm tọa độ của chất điểm M khi M ở cách xa gốc tọa đô nhất.

Lời giải chi tiết

+ Từ cách xác định tọa độ của chất điểm M ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3 + 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} = 4 + 5cos{t^ \circ }\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 3 = 5\sin {t^ \circ }\\{y_M} - 4 = 5cos{t^ \circ }\end{array} \right.$

$\Rightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25$

Vậy chất điểm M luôn thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;4} \right)$ và có bán kính $R = 5$. Mặt khác gốc tọa độ O cũng thuộc đường tròn $\left( C \right)$. Do đó ta có $OM \le 2R = 10$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $OM$ là đường đường kính của đường tròn $\left( C \right)$, tức là I là trung điểm của OM, điều đó tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2{x_1} - {x_0}\\{y_M} = 2{y_1} - {y_0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin {t^ \circ } = \frac{3}{5}\\cos{t^ \circ } = \frac{4}{5}\end{array} \right.$ (có $t \in \left( {0;180} \right)$thỏa mãn hệ)

Vậy $M\left( {6;8} \right)$