Giải bài 7.25 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho đường tròn $\left( C \right)$, đường thẳng $\Delta$ có phương trình lần lượt là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2,x + y + 2 = 0$

a) Chứng minh $\Delta$ là một tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của $\left( C \right)$, biết rằng d song song với đường thẳng $\Delta$

Lời giải chi tiết

a) ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2$ có $I\left( {1; - 1} \right),R = \sqrt 2$

Tính $d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  = R$

Nên d là tiếp tuyến của đường tròn $C\left( {I,R} \right)$

b)

+ d song song với đường thẳng $\Delta$ $\Rightarrow$ $d:x + y + c = 0\left( {c \ne 2} \right)$

+ d là tiếp tuyến của $C\left( {I,R} \right) \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  \Rightarrow \left| c \right| = 2 \Rightarrow c =  - 2$

$\Rightarrow d:x + y - 2 = 0$