Bài 7.2 phần bài tập bổ sung trang 107 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và hai dây $AB,$ $CD$ bất kì. Gọi $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $AB.$ Gọi $E$ và $F$ tương ứng là giao điểm của $MC,$ $MD$ với dây $AB.$ Gọi $I$ và $J$ tương ứng là giao điểm của $DE,$ $CF$ với đường tròn $(O).$ Chứng minh $IJ$ song song với $AB.$

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn $(O)$ có $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $\overparen{AB}$.

Suy ra $\overparen{MA}$ = $\overparen{MB}$

Lại có: $\widehat {AEC} = \displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB}$) (góc có đỉnh ở trong đường tròn)

$\widehat {CDM} = \displaystyle {1 \over 2} sđ\overparen{MAC}$ (tính chất góc nội tiếp) hay $\widehat {CDF} = \displaystyle  {1 \over 2} (sđ\overparen{MA} + sđ\overparen{AC})$$=\displaystyle {1 \over 2} (sđ\overparen{AC} +sđ \overparen{MB})$

Suy ra: $\widehat {AEC} = \widehat {CDF}$

Ta có: $\widehat {AEC} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ$ (hai góc kề bù)

Suy ra: $\widehat {CDF} + \widehat {{\rm{CEF}}} = 180^\circ$ nên tứ giác $CDFE$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFE}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{CE}$) hay $\widehat {CDI} = \widehat {CFE}$

Trong đường tròn $(O)$ ta có:

$\widehat {CDI} = \widehat {CJI}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{CAI}$)

Suy ra: $\widehat {CJI} = \widehat {CFE}$

$\Rightarrow IJ // AB$ (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

HocTot.Nam.Name.Vn