Bài 7.1 phần bài tập bổ sung trang 107 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao $AI, BK, CL$ của tam giác ấy.Gọi $H$ là giao điểm của các đường cao vừa vẽ.

$a)$ Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm $A, B, C, H, I, K, L$

$b)$ Chứng minh $\widehat {LBH},\widehat {LIH},\widehat {KIH}$ và $\widehat {KCH}$ là $4$ góc bằng nhau.

$c)$ Chứng minh $KB$ là tia phân giác của $\widehat {LKI}.$

Lời giải chi tiết

Vì $∆ABC$ là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm $H$ nằm trong tam giác $ABC.$

$a)$ Tứ giác $AKHL$ có: $\widehat {AKH} + \widehat {ALH} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ$

Nên tứ giác $AKHL$ nội tiếp.

$+)$ Tứ giác $BIHL$ có: $\widehat {BIH} + \widehat {BLH} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ$

Nên tứ giác $BIHL$ nội tiếp.

$+)$ Tứ giác $CIHK$ có: $\widehat {CIH} + \widehat {CKH} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ$

Nên tứ giác $CIHK$ nội tiếp.

$+)$ Tứ giác $ABIK$ có: $\widehat {AKB} = 90^\circ;\widehat {AIB} = 90^\circ$

$K$ và $I$ nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông nên tứ giác $ABIK$ nội tiếp.

$+)$ Tứ giác $BCKL$ có $\widehat {BKC} = 90^\circ;\widehat {BLC} = 90^\circ$

Suy ra$K$ và $L$ nhìn đoạn $BC$ dưới một góc vuông nên tứ giác $BCKL$ nội tiếp.

$+)$ Tứ giác $ACIL$ có $\widehat {AIC} = 90^\circ;\widehat {ALC} = 90^\circ$

Suy ra$I$ và $L$ nhìn đoạn $AC$ dưới một góc vuông nên tứ giác $ACIL$ nội tiếp.

$b)$ Tứ giác $BIHL$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {LBH} = \widehat {LIH}$ $($$2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{LH}$$)$ $\;\;(1)$

Tứ giác $CIHK$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {HIK} = \widehat {HCK}$ $(2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{HK}$$)$         $\;\;(2)$

Tứ giác $BCKL$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {LBK} = \widehat {LCK}$ $(2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{LK}$) hay $\widehat {LBH} = \widehat {HCK}$ $\;\;(3)$

Từ $(1),$ $(2)$ và $(3)$ suy ra $\widehat {LBH}=\widehat {LIH}=\widehat {KIH}$$=\widehat {KCH}$

c) Tứ giác $CIHK$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {IKH}$ $($$2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{IH}$$)$ $\;\;(*)$

Tứ giác $LKCB$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {LCB} = \widehat {LKB}$ $($$2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{LB}$$)$ $\;\;(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat {LKH} = \widehat {HKI}$. Vậy $KB$ là tia phân giác của $\widehat {LKI}.$

HocTot.Nam.Name.Vn