Bài 58 trang 98 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Giả sử $AC$ là đường chéo lớn của hình bình hành $ABCD.$ Từ $C$, vẽ đường vuông góc $CE$ với đường thẳng $AB$, đường vuông góc $CF$ với đường thẳng $AD$ ($E,F$ thuộc phần kéo dài của các cạnh $AB$ và $AD$). Chứng minh rằng: $AB.AE + AD.AF = A{C^2}$. 

Lời giải chi tiết

Dựng $BG ⊥ AC.$

Xét $∆ BGA$ và $∆ CEA$ có:

+) $\widehat {BGA} = \widehat {CEA} = 90^\circ$

+) $\widehat A$ chung

$\Rightarrow  ∆ BGA$ đồng dạng $∆ CEA$ (g.g)

$\displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{AG} \over {AE}}$

$\Rightarrow AB.AE = AC.AG$      (1)

Vì $AD//BC$ nên $\widehat {BCG} = \widehat {CAF}$  (cặp góc so le trong)

Xét $∆ BGC$ và $∆ CFA$ có:

+) $\widehat {BGC} = \widehat {CFA} = 90^\circ$

+) $\widehat {BCG} = \widehat {CAF}$ (cmt)

$\Rightarrow ∆ BGC$ đồng dạng $∆ CFA$ (g.g)

$\displaystyle\Rightarrow {{AF} \over {CG}} = {{AC} \over {BC}}$

$\Rightarrow BC.AF = AC.CG$

Mà $BC = AD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\Rightarrow AD.AF = AC.CG$           (2)

Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có:

$AB.AE + AD.AF$$\, = AC.AG + AC.CG$

$\Rightarrow AB.AE + AD.AF$$\,= AC\left( {AG + CG} \right)$

Lại có: $AG + CG = AC$ nên $AB.AE + AD.AF = A{C^2}$.

HocTot.Nam.Name.Vn