Bài 56 trang 98 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Hai điểm $M$ và $K$ thứ tự nằm trên cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$; hai đoạn thẳng $AK$ và $CM$ cắt nhau tại điểm $P.$ Biết rằng $AP = 2 PK$ và $CP = 2PM.$

Chứng minh rằng $AK$ và $CM$ là các trung tuyến của tam giác $ABC.$

Lời giải chi tiết

$AP = 2 PK$ và $CP = 2PM$ (gt)

$\Rightarrow \displaystyle{{PK} \over {PA}} = {1 \over 2};{{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}$

$\Rightarrow\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}$

Xét $∆ PKM$ và $∆ PAC$ có:

$\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}}$ (chứng minh trên)

$\widehat {APC} = \widehat {KPM}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow ∆ PKM$ đồng dạng $∆ PAC$ (c.g.c) với tỉ số đồng dạng $k =\displaystyle {{PK} \over {PA}}= {1 \over 2}$.

$\Rightarrow\displaystyle {{KM} \over {AC}} = {1 \over 2}$                          (1)

Vì $∆ PKM$ đồng dạng $∆ PAC$ suy ra $\widehat {PKM} = \widehat {PAC}$

Mà $\widehat {PKM}$ và $\widehat {PAC}$ ở vị trí so le trong nên $KM // AC$ (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

Trong tam giác $ABC$ có $KM // AC$ nên $\widehat {BMK} = \widehat {BAC}$ (hai góc đồng vị)

Lại có góc $B$ chung nên $∆ BMK$ đồng dạng $∆ BAC$ (g.g)

$\Rightarrow\displaystyle  {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {{MK} \over {AC}}$     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\displaystyle {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 2}$

Do đó $BM = \displaystyle {1 \over 2} BA$ nên $M$ là trung điểm của $AB$.

$BK =\displaystyle  {1 \over 2} BC$ nên $K$ là trung điểm của $BC$.

Vậy $AK$ và $CM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC.$

HocTot.Nam.Name.Vn