Bài 57 trang 98 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD.$ Từ $A$ kẻ $AM$ vuông góc với $BC,$ $AN$ vuông góc với $CD$ ($M$ thuộc $BC$ và $N$ thuộc $CD$). Chứng minh rằng tam giác $MAN$ đồng dạng với tam giác $ABC.$

Lời giải chi tiết

* Trường hợp $\widehat B$ nhọn:

Xét $∆ AMB$ và $∆ AND$ có:

$\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ$

$\widehat B = \widehat D$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\Rightarrow  ∆ AMB$ đồng dạng $∆ AND$ (g.g)

$\displaystyle \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}$

Mà $AD = BC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\displaystyle \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$

Lại có: $AB // CD$ (gt)

           $AN ⊥ CD$ (gt)

$\Rightarrow AN ⊥ AB$ hay $\widehat {NAB} = {90^o}$.

$\Rightarrow \widehat {NAM} + \widehat {MAB} = 90^\circ$   (1)

Trong tam giác vuông $AMB$ có $\widehat {AMB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat {MAB} + \widehat B = 90^\circ$               (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {NAM} = \widehat B$

Xét $∆ ABC$ và $∆ MAN$ có:

$\displaystyle{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$  (chứng minh trên)

 $\widehat {NAM} = \widehat B$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow ∆ ABC$ đồng dạng $∆ MAN$ (c.g.c)

* Trường hợp $\widehat B$ tù:

 

$ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD;\;AD//BC$.

Vì $AB//CD$ nên $\widehat {ABM} =\widehat C$ (cặp góc đồng vị).

Vì $AD//BC$ nên $\widehat {ADN}=\widehat C$ (cặp góc đồng vị).

Xét $∆ AMB$ và $∆ AND$ có:

$\widehat {AMB} = \widehat {AND} = 90^\circ$

$\widehat {ABM} = \widehat {ADN}$ (vì cùng bằng $\widehat C$)

$\Rightarrow ∆ AMB$ đồng dạng $∆ AND$ (g.g)

$\displaystyle \Rightarrow  {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AD}}$

Mà $AD = BC$  (vì $ABCD$ là hình bình hành)

$\displaystyle \Rightarrow{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$

Vì $AB // CD$ nên $\widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ$ (cặp góc trong cùng phía)  (3)

Tứ giác $AMCN$ có $\widehat {AMC} = \widehat {AND} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat {MAN} + \widehat C = 180^\circ$        (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat {MAN} = \widehat {ABC}$

Xét $∆ MAN$ và $∆ ABC$ có:

$\displaystyle {{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {BC}}$ (chứng minh trên)

$\widehat {MAN} = \widehat {ABC}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow  ∆ MAN$ đồng dạng $∆ ABC$ (c.g.c)

HocTot.Nam.Name.Vn