Giải bài 5 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1l nước vào bình, rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng lước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện bước 3, 4, …

Kí hiệu ${a_n}$ là lượng nước có tron bình sau bước n $(n \in \mathbb{N}*)$

a) Tính ${a_1},{a_2},{a_3}$. Từ đó dự đoán công thức tính ${a_n}$ với $n \in \mathbb{N}*$

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a)

  $\begin{array}{l}{a_1} = \frac{{2 + 1}}{2} = \frac{3}{2} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}};\\{a_2} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{2} = \frac{5}{4} = \frac{{{2^2} + 1}}{{{2^2}}};\\{a_3} = \frac{{\frac{5}{4} + 1}}{2} = \frac{9}{8} = \frac{{{2^3} + 1}}{{{2^3}}}\end{array}$.

Từ đó ta dự đoán ${a_n} = \frac{{{2^n} + 1}}{{{2^n}}}$ với $n \in \mathbb{N}*$

b)

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có ${a_1} = \frac{{{2^1} + 1}}{{{2^1}}}$

Như vậy công thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, nghĩa là có: ${a_k} = \frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}$

Ta sẽ chứng minh công thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cần chứng minh ${a_{k + 1}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

${a_{k + 1}} = \frac{{{a_k} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}} + 1}}{2} = \frac{{\frac{{{2^k} + 1 + {2^k}}}{{{2^k}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^k} + 1}}{{{2^{k + 1}}}} = \frac{{{2^{k + 1}} + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$

Vậy công thức đúng với $n = k + 1$.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.