Giải bài 7 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển của: $(2x + 3){(x - 2)^6}$

Lời giải chi tiết

Cách 1: Sử dụng tam giác Pascal, ta có:

$\begin{array}{l}{(x - 2)^6} = {x^6} + 6{x^5}\left( { - 2} \right) + 15{x^4}{\left( { - 2} \right)^2} + 20{x^3}{\left( { - 2} \right)^3} + 15{x^2}{\left( { - 2} \right)^4} + 6x{\left( { - 2} \right)^5} + {\left( { - 2} \right)^6}\\ = {x^6} - 12{x^5} + 60{x^4} - 160{x^3} + 240{x^2} - 192x + 64\end{array}$

$(2x + 3){(x - 2)^6} = (2x + 3)\left( {{x^6} - 12{x^5} + 60{x^4} - 160{x^3} + 240{x^2} - 192x + 64} \right)$

Do đó hệ số của ${x^5}$  là: $2.60 + 3.( - 12) = 84$

Cách 2: Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${(x - 2)^6} = C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}\left( { - 2} \right) + ... + C_6^k{x^{6 - k}}{\left( { - 2} \right)^k} + ... + C_6^6{\left( { - 2} \right)^6}$

$\begin{array}{l}(2x + 3){(x - 2)^6} = 2C_6^0{x^7} + 2C_6^1{x^6}\left( { - 2} \right) + ... + 2C_6^k{x^{7 - k}}{\left( { - 2} \right)^k} + ... + 2C_6^6x{\left( { - 2} \right)^6}\\ + 3\left[ {C_6^0{x^6} + C_6^1{x^5}\left( { - 2} \right) + ... + C_6^k{x^{6 - k}}{{\left( { - 2} \right)}^k} + ... + C_6^6{{\left( { - 2} \right)}^6}} \right]\\ = 2C_6^0{x^7} + \left[ {2\left( { - 2} \right)C_6^1 + 3C_6^0} \right]{x^6} + ... + \left[ {2{{\left( { - 2} \right)}^k}C_6^k + 3{{\left( { - 2} \right)}^{k - 1}}C_6^{k - 1}} \right]{x^{7 - k}} + \left[ {2{{\left( { - 2} \right)}^6}C_6^6 + 3C_6^5{{\left( { - 2} \right)}^5}} \right]x + 3C_6^6{\left( { - 2} \right)^6}.\end{array}$

Số hạng chứa ${x^5}$ ứng với $7 - k = 5$hay $k = 2$. Do đó hệ số của ${x^5}$  là

$2{\left( { - 2} \right)^2}C_6^2 + 3{\left( { - 2} \right)^1}C_6^1 = 84$