Giải bài 4.32 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8$ và $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 10.$

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right).$

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow a  + \overrightarrow b .$

Lời giải chi tiết

Giả sử $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,$ $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b$ khi đó $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b$

Nhận thấy $O{A^2} + A{B^2} = {6^2} + {8^2} = 100 = O{B^2}$

$\Rightarrow$ $\Delta OAB$ là tam giác vuông tại $A$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AB}  = 0$ hay $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$

a)      Ta có: $\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {\overrightarrow a ^2} = 36.$

b)     Ta có: $\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,36 = 6.10.\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow \,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{3}{5}\\ \Leftrightarrow \,\,\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) \approx {53^ \circ }\end{array}$