Giải bài 4.35 trang 65 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;4)$ và $C(9;2)$ là hai đỉnh của hình vuông $ABCD.$ Tìm tọa độ các đỉnh $B,\,\,D$ biết rằng tung độ của $B$ là một số âm.

Lời giải chi tiết

Gọi $B(x;y)$ và $D(x';y')$. Điều kiện: $y < 0$

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + 9}}{2} = 5}\\{y = \frac{{4 + 2}}{2} = 3}\end{array}} \right.$ $\Rightarrow$ $I(5;3)$

Ta có: $I$ là trung điểm của

$\Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + x' = 10}\\{y + y' = 6}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - x'}\\{y = 6 - y'}\end{array}} \right.} \right.$        (1)

Xét hình vuông $ABCD$ có $I$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow$ $AC \bot BD$ tại trung điểm $I$ của chúng.

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = ( - 4;1)$, $\overrightarrow {IB}  = (x - 5;y - 3)$, $\overrightarrow {IC}  = (4; - 1)$ và $\overrightarrow {ID}  = (x' - 5;y' - 3)$

Xét $\Delta AID$ vuông tại $I$ có:

$\Rightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  = 0}\\{IA = ID}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4\left( {x' - 5} \right) + \left( {y' - 3} \right) = 0}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} + {{\left( {y' - 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} + {{\left( {4x' - 17 - 3} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} + 16{{\left( {x' - 5} \right)}^2} = 17}\end{array}} \right.$

$\Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{{{\left( {x' - 5} \right)}^2} = 1}\end{array}} \right.\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y' = 4x' - 17}\\{x' - 5 =  \pm 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 6}\\{y' = 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 4}\\{y' =  - 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.$ (thỏa mãn)

Với $x' = 4$ và $y' =  - 1$ thay vào hệ phương trình (1), ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - 4 = 6}\\{y = 4 + 1 = 7}\end{array}} \right.$   (loại)

Với $x' = 6$ và $y' = 7$ thao vào hệ phương trình (1), ta được:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 - 6 = 4}\\{y = 6 - 7 =  - 1}\end{array}} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy $B(4; - 1)$ và $D(6;7)$