Giải bài 4.36 trang 66 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1)$ và $B(7;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho $C$ cách đều $A$ và $B.$

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Vì điểm $C$ thuộc trục hoành nên tạo độ điểm $C$ là: $C(x;0)$

Ta có: $\overrightarrow {CA}  = (1 - x;1)$ và $\overrightarrow {CB}  = (7 - x;5)$

Để điểm $C$ cách đều $A$ và $B$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,AC = BC\\ \Leftrightarrow \,\,{\left( {1 - x} \right)^2} + 1 = {\left( {7 - x} \right)^2} + {5^2}\\ \Leftrightarrow \,\,{x^2} - 2x + 2 = {x^2} - 14x + 74\\ \Leftrightarrow \,\,12x = 72\\ \Leftrightarrow \,\,x = 6\end{array}$

Vậy $C(6;0)$

b) Vì điểm $D$ thuộc trục tung nên $D(0;y)$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ nên $M(4;3).$

Ta có: $\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}  = 2\overrightarrow {DM}$

Để $\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow$ $\overrightarrow {DM}$ có độ dài ngắn nhất

$\Leftrightarrow$ $D$ là hình chiếu của $M$ trên trục $Oy$

$\Leftrightarrow$ $D(0;3)$