Giải bài 4.18 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ đều có trọng tâm $O.$ $M$ là một điểm tùy ý nằm trong tam giác. Gọi $D,\,\,E,\,\,F$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $BC,\,\,CA,\,\,AB.$ Chứng minh rằng $\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} .$

Lời giải chi tiết

Gọi đường thẳng đi qua $M$ và song song với $AB$ cắt $BC,\,\,AC$ lần lượt tại $G,\,\,J$; đường thẳng đi qua $M$ và song song với $BC$ cắt $AB,\,\,AC$ lần lượt tại $P,\,\,I$; đường thẳng đi qua $M$ và song song với $AC$ cắt $AB,\,\,BC$ lần lượt tại $Q,\,\,H$.

Ta có: $MG$//$AB$ $\Rightarrow$ $\widehat {MGH} = \widehat {ABC} = {60^ \circ }$

$MH$//$AC$ $\Rightarrow$ $\widehat {MHG} = \widehat {ACB} = {60^ \circ }$

$\Rightarrow$ $\Delta MHG$ là tam giác đều

Mặt khác $MD \bot HG$

$\Rightarrow$ $D$ là trung điểm của $GH$

$\Rightarrow$ $2\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH}$        (1)

Chứng minh tương tự ta được: $2\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}$, $2\overrightarrow {MF}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ}$      (2)

Ta có: tứ giác $AQMJ,$ $BPMG,$ $CIMH$ là hình bình hành

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $2\left( {\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF} } \right) = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MH}  + \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ}$

$\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MH} } \right) + \left( {\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {MG} } \right)\\ = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB} \\ = \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} \\ = 3\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\\ = 3\overrightarrow {MO} \end{array}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO}$ (đpcm)