Giải bài 4.20 trang 55 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác $ABC.$

a)      Tìm điểm $K$ thỏa mãn $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0$

b)     Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|$

Lời giải chi tiết

a)      Giả sử tìm được điểm $K$ thỏa mãn $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0$

Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, $J$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \left( {\overrightarrow {KA}  + \overrightarrow {KC} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {KC} } \right) = 2\overrightarrow {KI}  + 4\overrightarrow {KJ}$     (1)

Lấy điểm $P$ trên cạnh $IJ$ sao cho $\overrightarrow {PI}  + 2\overrightarrow {PJ}  = \overrightarrow 0$

Ta có: $2\overrightarrow {KI}  + 4\overrightarrow {KJ}  = 2\left( {\overrightarrow {KP}  + \overrightarrow {PI} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {KP}  + \overrightarrow {PJ} } \right) = 6\overrightarrow {KP}$        (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = 6\overrightarrow {KP}$

Mặt khác $\overrightarrow {KA}  + 2\overrightarrow {KB}  + 3\overrightarrow {KC}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow$ $6\overrightarrow {KP}  = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow$ $K \equiv P$

Vậy điểm $K$  thuộc cạnh $IJ$ sao cho $\overrightarrow {KI}  + 2\overrightarrow {KJ}  = \overrightarrow 0$

b)     Ta có: $\left| {\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} } \right|$

$\Leftrightarrow \,\,\left| {6\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\,\, \Leftrightarrow \,\,MP = \frac{1}{6}BC$

$\Rightarrow$ tập hợp điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $P$, bán kính bằng $\frac{{BC}}{6}$.