Bài 3.53 trang 163 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD).

a) Chứng minh BD ⊥ SC.

b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).

c) Cho SA = (a√6)/3. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $BD \bot AC$ (ABCD là hình vuông)

$SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right.$ $\Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$

Mà $BC \subset \left( {SBC} \right)$ nên $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.

c) Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên A là hình chiếu của S trên (ABCD).

Mà $SC \cap \left( {ABCD} \right) = C$ nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

Do đó góc giữa SC và (ABCD) bằng góc giữa SC và AC hay là góc $\widehat {SCA}$.

Ta có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2$

Tam giác SAC vuông tại A nên $\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}}$ $= \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:a\sqrt 2  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$ $\Rightarrow \widehat {SCA} = {30^0}$.

HocTot.Nam.Name.Vn