Bài 3.52 trang 163 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và các cạnh OA = OB = OC = a, gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng: BC ⊥ (AOI), (OAI) ⊥ (ABC).

b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).

c) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right.$ $\Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC$

Mà $\Delta OBC$ vuông cân tại O nên $OI \bot BC$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OA\\BC \bot OI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAI} \right)$.

Mà $BC \subset \left( {ABC} \right)$ nên $\left( {ABC} \right) \bot \left( {OAI} \right)$.

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BI \bot OI\\BI \bot OA\end{array} \right. \Rightarrow BI \bot \left( {OAI} \right)$

$\Rightarrow I$ là hình chiếu của B trên $\left( {OAI} \right)$.

Mà $BA \cap \left( {OAI} \right) = A$ nên $AI$ là hình chiếu của $AB$ trên $\left( {OAI} \right)$.

Do đó góc giữa AB và (OAI) bằng góc giữa AB và AI hay là góc $\widehat {BAI}$.

Tam giác ABC có: $AB = BC = AC$ do các tam giác vuông cân OAB,OAC,OBC bằng nhau.

Do đó ABC là tam giác đều nên $\widehat A = {60^0}$

I là trung điểm BC nên AI là phân giác góc A nên $\widehat {BAI} = \dfrac{1}{2}\widehat A = {30^0}$.

c) Gọi J là trung điểm OC, khi đó IJ//OB

Do $OB \bot \left( {OAC} \right)$ nên $IJ \bot \left( {OAC} \right) \Rightarrow IJ \bot AJ$ hay tam giác $AIJ$ vuông tại J.

Vậy góc giữa AI và OB bằng góc giữa AI và IJ hay góc $\widehat {AIJ}$.

Có $IJ = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{a}{2}$.

$AJ = \sqrt {O{A^2} + O{J^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Tam giác AIJ vuông tại J nên $\tan \widehat {AIJ} = \dfrac{{AJ}}{{IJ}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}:\dfrac{a}{2} = \sqrt 5$ $\Rightarrow \widehat {AIJ} = {65^0}54'$

HocTot.Nam.Name.Vn