Giải bài 3.32 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Đề bài

a) Khai triển ${\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$ và ${\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)^2}$ thành những biểu thức không còn bình phương.

b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau:

$A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } }$;

$B = \sqrt {2 + \sqrt 3  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } }$.

Lời giải chi tiết

a) ${\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {2^2} - 2.2\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 7 - 4\sqrt 3$;

${\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .3 + {3^2} = 21 - 12\sqrt 3 .$

b) Theo a ta có:

$\sqrt {21 - 12\sqrt 3 }  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3  - 3} \right)}^2}} \\= \left| {2\sqrt 3  - 3} \right| = 2\sqrt 3  - 3$

Do đó, $A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } }$

$= \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - 2\sqrt 3  + 3}  = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 }  \\= \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3$

$B = \sqrt {2 + \sqrt 3  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3  - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } } \\ = \sqrt {2 + \sqrt 3  + A}  = \sqrt {2 + \sqrt 3  + 2 - \sqrt 3 }  \\= \sqrt 4  = 2$