Giải bài 30 trang 81 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{   }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{     }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.$

a)    Với $a = 2$, xét tính liên tục của hàm số tại $x = 1$.

b)    Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Lời giải chi tiết

a) Với $a = 2$ ta có $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{   }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + 2{\rm{     }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.$.

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x} \right) = {1^2} - 1 = 0$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$, nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$. Do đó, hàm số không liên tục tại $x = 1$.

b) Với $x < 1$ thì $f\left( x \right) = x + a$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( { - \infty ,1} \right)$.

Với $x > 1$ thì $f\left( x \right) = {x^2} - x$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {1, + \infty } \right)$.

Do đó, để $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $f\left( x \right)$ phải liên tục tại $x = 1$.

Tức là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + a} \right) = 0 \Rightarrow 1 + a = 0 \Rightarrow a =  - 1$.