Giải bài 3 trang 115 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết rằng điểm G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng BC, AC, AB.

Ta có: G là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác ABC.

Mà G cũng là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên AM, BN, CP là các đường trung trực của tam giác ABC hay $AM \bot BC;BN \bot AC;CP \bot AB$.

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

     AM chung;

     $\widehat {AMB} = \widehat {AMC} (= 90^\circ$)(vì $AM \bot BC$);

     BM = MC (M là trung điểm của BC).

Vậy $\Delta ABM = \Delta ACM$(c.g.c). Suy ra: AB = AC ( 2 cạnh tương ứng). (1)

Tương tự ta có:

     $\Delta BNA = \Delta BNC$(c.g.c). Suy ra: AB = BC( 2 cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB = BC = AC.

Vậy tam giác ABC đều.