Giải bài 2.16 trang 26 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) $\left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9} \right)$;

b) $\left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) - 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9} \right)$

$= \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - \left( {2x - 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.3 + {3^2}} \right]$

$= {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - \left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} - {3^3}} \right] = 8{x^3} + 27 - \left( {8{x^3} - 27} \right)$

$= 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 27 = 54$.

Vậy đa thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có

$\left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) - 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)$

$= \left( {2x - 1} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.1 + {1^2}} \right] - 8\left( {x + 2} \right)\left[ {{x^2} - 2x. + {2^2}} \right]$

$= {\left( {2x} \right)^3} - {1^3} - 8\left( {{x^3} + {2^3}} \right) = 8{x^3} - 1 - 8{x^3} - 64 =  - 65$.

Vậy đa thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.