Giải bài 2 trang 72 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2

Đề bài

Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + my = 5\end{array} \right.$.

a) Giải hệ phương trình với $m = 1$.

b) Tìm các số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) với x, y đều là số nguyên.

Lời giải chi tiết

a) Với $m = 1$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + y = 5\end{array} \right.$ (I).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ mới với 2 ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 2\\2x + y = 5\end{array} \right.$.

Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình mới ta được: $5y =  - 3$, suy ra $y = \frac{{ - 3}}{5}$.

Thay $y = \frac{{ - 3}}{5}$ vào phương trình thứ nhất của hệ (I) ta có: $x + 3.\frac{{ - 3}}{5} = 1$, suy ra $x = \frac{{14}}{5}$.

Vậy với $m = 1$ thì hệ phương trình có nghiệm $\left( {\frac{{14}}{5};\frac{{ - 3}}{5}} \right)$.

b) $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + my = 5\end{array} \right.$ (*)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ với 2 ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 2\\2x + my = 5\end{array} \right.$.

Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình mới ta được: $\left( {m - 6} \right)y = 3$ (1)

+ Với $m = 6$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với $m \ne 6$, phương trình (1) có nghiệm $y = \frac{3}{{m - 6}}$.

Thay $y = \frac{3}{{m - 6}}$ vào phương trình thứ nhất trong hệ (*) ta có: $x + \frac{9}{{m - 6}} = 1$, suy ra $x = 1 - \frac{9}{{m - 6}}$.

Để x, y đều là số nguyên thì $m - 6$ là ước của 3, tức là $m - 6 \in \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}$.

Suy ra, $m \in \left\{ {7;5;9;3} \right\}$. Thử lại các giá trị của m ta thấy các giá trị của m đều thỏa mãn bài toán.

Vậy $m \in \left\{ {7;5;9;3} \right\}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.