Giải bài 2 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - x + m - 1$ ($m$ là tham số).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi $m =  - 1$.

b) Tìm giá trị của $m$ để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ ${x_0} =  - 2$.

Lời giải chi tiết

a) Với $m =  - 1$, hàm số có dạng: $y = \left( { - 1 - 1} \right){x^3} + 2\left( { - 1 + 1} \right){x^2} - x - 1 - 1$ hay $y =  - 2{x^3} - x - 2$.

1. Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y' =  - 6{{\rm{x}}^2} - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Do $y' < 0$ trên $\mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.

Hàm số đã cho không có cực trị:

• Các giới hạn tại vô cực:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\left( { - 2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\left( { - 2 - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{2}{{{x^3}}}} \right) =  - \infty$.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( { - 1;1} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( {1; - 5} \right)$.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left( { - 2;0} \right)$.

b) $y'=3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x-1;y''=6\left( m-1 \right)x+4\left( m+1 \right)$

$y''=0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\end{array} \right.$

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ $x =  - 2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \frac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$.