Bài 17 trang 159 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$ và dây $EF$ không cắt đường kính. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $EF$. Chứng minh rằng $IE = KF.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $AI ⊥ EF$ (gt)

           $BK ⊥ EF$ (gt)

Suy ra: $AI // BK$

Suy ra tứ giác $ABKI$ là hình thang

Kẻ $OH ⊥ EF$

Suy ra: $OH // AI // BK$ (cùng vuông với IK)

Ta có: $OA = OB (= R)$

Như vậy hình thang $ABKI$ có OH đi qua trung điểm cạnh bên AB và song song với hai đáy AI, BK nên OH đi qua trung điểm cạnh bên IK.

Suy ra: $HI = HK$ 

Hay:         

$HE + EI = HF+FK$  (1)

Xét đường tròn (O) có OH là một phần đường kính, EF là dây của đường tròn.

Vì $OH\bot EF$ nên $HE = HF$  (2) (quan hệ giữa đường kính và dây cung) 

Từ (1) và (2) suy ra:$IE = KF.$

HocTot.Nam.Name.Vn