Bài 20 trang 159 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

a)   Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$, dây $CD$. Các đường vuông góc với $CD$ tại $C$ và $D$ tương ứng cắt $AB$ ở $M$ và $N$. Chứng minh rằng $AM = BN.$ 

b) Cho nửa đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Trên $AB$ lấy các điểm $M, N$ sao cho $AM = BN$. Qua $M$ và qua $N$, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở $C$ và $D$. Chứng minh rằng $MC$ và $ND$ vuông góc với $CD$.  

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có:

$CM ⊥CD$

$DN⊥CD$

Suy ra:  $CM // DN$

Kẻ  $OI ⊥CD$

Suy ra:  $OI // CM // DN$

Xét (O) có $OI ⊥CD$ mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên $IC = ID$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Hình thang MCDN (do $CM // DN$) có  $OI // CM // DN$ và $IC=ID$ 

Suy ra:  $OM = ON$ (1)

Mà: $AM + OM = ON + BM( = R)$                (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $AM = BN.$

b) Ta có:  $MC // ND$ (gt)

Suy ra tứ giác  $MCDN$ là hình thang

Lại có:    $OM + AM = ON + BN (= R)$

Mà  $AM = BN$ (gt)

Suy ra:  $OM = ON$

Kẻ  $OI ⊥ CD$     (3)

Xét (O) có $OI ⊥CD$ mà OI là 1 phần đường kính và DC là dây của đường tròn nên $IC = ID$ (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Khi đó  $OI$ là đường trung bình của hình thang $MCDN$ (vì $OM = ON$ và $IC = ID$) 

Suy ra:  $OI // MC // ND$      (4)

Từ (3) và (4) suy ra:  $MC ⊥ CD, ND ⊥ CD.$

HocTot.Nam.Name.Vn