Bài 21* trang 159 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB$. Dây $CD$ cắt đường kính $AB$ tại $I$. Gọi $H$ và $K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $CD$. Chứng minh rằng $CH = DK.$

Lời giải chi tiết

Kẻ $OM  ⊥ CD$ cắt $AD$ tại $N.$

Xét đường tròn (O) có $OM  ⊥ CD$ tại M mà OM là 1 phần đường kính và CD là dây của đường tròn nên $MC = MD$ ( đường kính vuông góc với dây thi đi qua trung điểm của dây đó )

Hay $MH + CH = MK + KD$     (1)

Ta có: $OM // BK$ (cùng vuông góc với CD)

Hay:     $NO // BK$

Xét tam giác AKB có $NO // BK$ và  $OA = OB (= R)$

Suy ra: $NA = NK$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Lại có: $OM // AH$ ( cùng vuông góc với CD)

Hay:     $MN // AH$

Xét tam giác AKH có $MN // AH$ và $NA = NK$ (chứng minh trên)

Suy ra:  $MH = MK$ ( tính chất đường trung bình của tam giác)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $CH = DK.$

HocTot.Nam.Name.Vn