Bài 1.3 phần bài tập bổ sung trang 158 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat A = 60^\circ$. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; $E, F, G, H$ theo thứ tự là trung điểm của $AB, BC, CD, DA.$ Chứng minh rằng sáu điểm $E, B, F, G, D, H$ thuộc cùng một đường tròn. 

Lời giải chi tiết

Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD$. 

* Xét tam giác vuông $AOB$ có OE là đường trung tuyến nên:

$OE = \dfrac{1}{2}AB$

* Xét tam giác vuông $COB$ có OF là đường trung tuyến nên:

$OF  = \dfrac{1}{2}BC$

* Xét tam giác vuông $COD$ có OG là đường trung tuyến nên:

$OG  = \dfrac{1}{2}DC$

* Xét tam giác vuông $AOD$ có OH là đường trung tuyến nên:

$OH = \dfrac{1}{2}AD$

Do $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC = DC = AD$

Suy ra $OE=OF=OG=OH=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

* Ta có $\widehat A = 60^\circ$ (gt) suy ra $\widehat {OAB} = 30^\circ$ (vì AO là phân giác góc A)

Xét tam giác vuông $AOB$ ta có: $OB =AB\sin \widehat {OAB}= \sin 30^\circ .AB$ hay $OB = \dfrac{1}{2}AB$

Lại có $OB=OD$ (vì ABCD là hình thoi)

Nên $OD =OB = \dfrac{1}{2}AB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $OE=OF=OG=OH=OD=OB$ 

Suy ra sáu điểm $E, B, F, G, D, H$ thuộc cùng một đường tròn tâm $O$ bán kính $OB.$

HocTot.Nam.Name.Vn