Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 158 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn.

Lời giải chi tiết

* Xét tam giác $DEC$ có  

$M$ là trung điểm $DE$

$N$ là trung điểm $DC$

Suy ra, $MN$ là đường trung bình của tam giác $DEC$, hay $MN//EC$ (*) và $MN = \dfrac{1}{2}EC$  (1)

* Xét tam giác $BEC$ có 

$Q$ là trung điểm $BE$

$P$ là trung điểm $BC$

Suy ra, $PQ$ là đường trung bình của tam giác $BEC$, hay $PQ//EC$ và $PQ = \dfrac{1}{2}EC$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

* Xét tam giác $DEB$ có 

$Q$ là trung điểm $BE$

$M$ là trung điểm $DE$

Suy ra, $QM$ là đường trung bình của tam giác $BED$, hay $MQ//DB$  (3).

Mà $AB \bot AC$ (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra $MN \bot MQ$ (5)

Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành mà có một góc vuông suy ra $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo $MP$ và $QN$

Suy ra $IM=IN=IP=IQ$ (tính chất hình chữ nhật)

Nên các điểm $M, N, P, Q$ đều cách đều $I$ một khoảng cố định, suy ra $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

HocTot.Nam.Name.Vn