Giải bài 10 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) $EF = AH$

b) $AM \bot EF$

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat {BAC} = {90^0}$

Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên $HE \bot AB,HF \bot AC$

Do đó, $\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = {90^0}$

Tứ giác AFHE có: $\widehat {BAC} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = {90^0}$ nên tứ giác AFHE là hình chữ nhật. Do đó, $AH = FE$

b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên $\widehat {FHE} = {90^0}$

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên $AM = MB = MC = \frac{1}{2}BC$

Tam giác AMB có: $AM = MB$ nên tam giác AMB cân tại M. Do đó, $\widehat {MAB} = \widehat B$

Lại có: $\widehat B = \widehat {DHE}\left( { = {{90}^0} - \widehat {HEB}} \right)$ nên $\widehat {MAB} = \widehat {DHE}$ (1)

Gọi D là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE. Do đó, $DH = DE = DF = DA$

Tam giác DAE có: $DA = DE$ nên tam giác DAE cân tại D, suy ra $\widehat {DAE} = \widehat {DEA}$

Mà AE//FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên $\widehat {DHF} = \widehat {DAE}$ (so le trong)

Do đó, $\widehat {DEA} = \widehat {DHF}$ (2)

Lại có: $\widehat {DHF} + \widehat {DHE} = \widehat {FHE} = {90^0}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat {MAB} + \widehat {DEA} = {90^0}$. Suy ra: $AM \bot EF$