Giải bài 12 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) $AE.AB = AF.AC$

b) $\Delta ADE\backsim \Delta AHC$ và $\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ ($\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ không chứng minh được vì đề bài không cho vị trí của điểm N).

Lời giải chi tiết

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}$

Vì HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC nên $HE \bot AB,HF \bot AC$

Do đó, $\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = {90^0}$

Tam giác HEA và tam giác BHA có:

$\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = {90^0},\widehat {BAH}\;chung$

Do đó, $\Delta HEA\backsim \Delta BHA\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ nên $AE.AB = A{H^2}\left( 1 \right)$

Tam giác HFA và tam giác CHA có:

$\widehat {HFA} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {CAH}\;chung$

Do đó, $\Delta HFA\backsim \Delta CHA\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ nên $AF.AC = A{H^2}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: $AE.AB = AF.AC$

b) Vì $AE.AB = AF.AC$ nên $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}$

Tam giác AEF và tam giác ACB có: $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}},\widehat {BAC}\;chung$

Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$, suy ra, $\widehat {AEF} = \widehat C$

Tam giác AED và tam giác ACH có:

$\widehat {ADE} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {AEF} = \widehat C\left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta ADE\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$