Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 4 (hay, chi tiết)I. Phần trắc nghiệmĐề bài
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3}\) là
Câu 2 :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\). Kết quả đúng là
Câu 3 :
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [-1;1] bằng
Câu 4 :
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
Câu 5 :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Câu 6 :
Một nhóm học sinh gồm 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường?
Câu 7 :
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong hình như hình.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 8 :
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là
Câu 9 :
Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là
Câu 10 :
Nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{4}\) là
Câu 11 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình dưới.
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm
Câu 12 :
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Mốt của mẫu số liệu trên là
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\). a) Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).
Đúng
Sai
b) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
Đúng
Sai
c) Đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
Đúng
Sai
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
Đúng
Sai
Câu 2 :
Một ô tô đang chạy với tốc độ 108 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng 1 giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = -10 + 30 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được tính bằng đơn vị m trong thời gian t(s) kể từ lúc đạp phanh. a) Công thức biểu diễn hàm số \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
Đúng
Sai
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 6 giây.
Đúng
Sai
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 (m).
Đúng
Sai
d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 120 (m).
Đúng
Sai
Câu 3 :
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2. a) Xác suất \(P(\overline A ) = 0,5\) và \(P(\overline B ) = 0,4\).
Đúng
Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
Đúng
Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4.
Đúng
Sai
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8.
Đúng
Sai
Câu 4 :
Một máy bay đang di chuyển về phía sân bay. Tại thời điểm hiện tại, vị trí của máy bay là B(150;150;5000) (trong đó 5000m là độ cao của máy bay so với mặt đất). Máy bay đang di chuyển thẳng tới sân bay với vận tốc 700 km/h. Sân bay có tọa độ C(0;0;0) và máy bay đang tiến dần đến vị trí hạ cánh tại sân bay. a) Phương trình tham số của đường thẳng mà máy bay di chuyển theo là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 150 - 150t\\y = 150 - 150t\\z = 5000 - 5000t\end{array} \right.\).
Đúng
Sai
b) Khoảng cách từ vị trí hiện tại của máy bay B(150;150;5000) đến sân bay C(0;0;0) là \(\sqrt {15250000} \approx 3905,6\) km.
Đúng
Sai
c) Với vận tốc của máy bay là 700km/h, thời gian để máy bay hạ cánh là khoảng 5,5 giờ.
Đúng
Sai
d) Hệ thống kiểm soát không lưu yêu cầu liên lạc với máy bay khi nó còn cách sân bay 40km. Khi máy bay ở vị trí (6;6;200), hệ thống kiểm soát không lưu đã yêu cầu liên lạc với máy bay.
Đúng
Sai
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh bằng I, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Đáp án:
Câu 2 :
Một nhân viên của bảo tàng nghệ thuật đang có kế hoạch giới thiệu nội dung cuộc triển lãm của bảo tàng đến ba trường học trong khu vực. Người đó muốn đến từng trường và quay trở lại bảo tàng sau khi thăm cả ba trường. Thời gian di chuyển (đơn vị: phút) giữa các trường học và giữa bảo tàng với mỗi trường học được mô tả trong hình vẽ.Tìm thời gian đi ít nhất để thực hiện chu trình trên.
Đáp án:
Câu 3 :
Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 50 km và về phía Tây 20 km , đồng thời cách mặt đất 1 km. Xác định khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Đáp án:
Câu 4 :
Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol (P) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng 4 m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật CDEF sao cho chiều cao cửa đi là CD = 2m, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({m^3}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án:
Câu 5 :
Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1 km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100 m. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Đáp án:
Câu 6 :
Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp I chứa 3 bóng bàn màu trắng và 2 bóng bàn màu vàng, hộp II chứa 6 bóng bàn màu trắng và 4 bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn từ hộp II ra. Tính xác suất để quả bóng bàn lấy từ hộp II có màu vàng. Đáp án: Lời giải và đáp án
Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 :
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^3}\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng quy tắc tính nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\). Lời giải chi tiết :
\(\int {{x^3}dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + C\).
Câu 2 :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\). Kết quả đúng là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng định nghĩa đạo hàm \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\). Lời giải chi tiết :
\(f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 3\).
Câu 3 :
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [-1;1] bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét. Lời giải chi tiết :
Quan sát bảng biến thiên, thấy \(f(x) \ge - 2\) với mọi x thuộc [-1;1]. Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [-1;1] là -2.
Câu 4 :
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là \(y = \frac{a}{c}\). Lời giải chi tiết :
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{4x + 1}}{{x - 1}}\) là
Câu 5 :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (ABCD) bằng
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tìm hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) và tính khoảng cách từ A’ đến hình chiếu đó. Lời giải chi tiết :
Ta có \(AA' \bot (ABCD)\) nên \(d(A',(ABCD)) = AA' = a\).
Câu 6 :
Một nhóm học sinh gồm 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc cộng. Lời giải chi tiết :
Có 10 + 20 = 30 cách chọn 1 học sinh.
Câu 7 :
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong hình như hình.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị đi xuống từ trái sang. Lời giải chi tiết :
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).
Câu 8 :
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là
Đáp án : C Phương pháp giải :
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a;b;c)\). Lời giải chi tiết :
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_4}} = ( - 1;2;1)\).
Câu 9 :
Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 3cost. Khi đó, vận tốc tức thời tại thời điểm t của vật là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Theo ý nghĩa vật lí của đạo hàm, ta có v(t) = s’(t). Lời giải chi tiết :
\(v(t) = s'(t) = (3\cos t)' = - 3\sin t\).
Câu 10 :
Nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{4}\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\). Lời giải chi tiết :
\(\cos x = \cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Câu 11 :
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-2;2] và có đồ thị là đường cong trong hình dưới.
Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm
Đáp án : C Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị và nhận xét. Lời giải chi tiết :
Theo đồ thị, hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 1.
Câu 12 :
Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Mốt của mẫu số liệu trên là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: \({M_0} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{({n_m} - {n_{m - 1}}) + ({n_m} - {n_{m + 1}})}}.({u_{m + 1}} - {u_m})\). Lời giải chi tiết :
Mốt \({M_0}\) chứa trong nhóm [40;60). Do đó: \({u_m} = 40\), \({u_{m + 1}} = 60 \Rightarrow {u_{m + 1}} - {u_m} = 60 - 40 = 20\), \({n_{m - 1}} = 9\), \({n_m} = 12\), \({n_{m + 1}} = 10\). \({M_0} = 40 + \frac{{12 - 9}}{{(12 - 9) + (12 - 10)}}.(60 - 40) = 52\).
Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1 :
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\). a) Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).
Đúng
Sai
b) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
Đúng
Sai
c) Đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
Đúng
Sai
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
Đúng
Sai
Đáp án
a) Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).
Đúng
Sai
b) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
Đúng
Sai
c) Đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
Đúng
Sai
d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số rồi nhận xét. Lời giải chi tiết :
\(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\). Bảng biến thiên:
a) Đúng. Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\). b) Sai. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -1. c) Đúng. Ta có \(y(0) = {0^3} - 3.0 + 1 = 1\) nên đồ thị có hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. d) Đúng. y(-2) = -1; y(-1) = 3; y(1) = -1. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [-2;1] bằng 3.
Câu 2 :
Một ô tô đang chạy với tốc độ 108 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng 1 giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ v(t) = -10 + 30 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi s(t) là quãng đường xe ô tô đi được tính bằng đơn vị m trong thời gian t(s) kể từ lúc đạp phanh. a) Công thức biểu diễn hàm số \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
Đúng
Sai
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 6 giây.
Đúng
Sai
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 (m).
Đúng
Sai
d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 120 (m).
Đúng
Sai
Đáp án
a) Công thức biểu diễn hàm số \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m).
Đúng
Sai
b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 6 giây.
Đúng
Sai
c) Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là 45 (m).
Đúng
Sai
d) Quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 120 (m).
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Sử dụng công thức \(s(t) = \int\limits_0^t {v(t)dt} \). b) Khi xe ô tô dừng hẳn thì \(v(t) = 0\). Giải phương trình tìm t. c) Tính s(3). d) Tính tổng: - Quãng đường ô tô di chuyển được trong 1 giây sau khi phát hiện chướng ngại vật. - Quãng đường ô tô di chuyển được trong 3 giây kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. Lời giải chi tiết :
a) Đúng. Ta có \(s(t) = \int {v(t)dt} = \int {( - 10t + 30)dt} = - 5{t^2} + 30t + C\). Do s(0) = 0 nên C = 0. Vậy \(s(t) = - 5{t^2} + 30t\) (m). b) Sai. Xe ô tô dừng hẳn khi \(v(t) = 0 \Leftrightarrow - 10t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\). Vậy thời gian để xe dừng hẳn sau khi đạp phanh là 3 giây. c) Đúng. Sau 3 giây kể từ lúc đạp phanh, quãng đường xe ô tô di chuyển được là: \(s(3) = - {5.3^2} + 30.3 = 45\) (m). d) Sai. Ta có 108 km/h = 30 m/s. Quãng đường ô tô di chuyển được trong 1 giây sau khi phát hiện chướng ngại vật là 30 m. Quãng đường ô tô di chuyển được trong 3 giây kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là 45 m. Vậy tổng quãng đường ô tô đi được từ lúc phát hiện chướng ngại vật đến khi dừng hẳn là 30 + 45 = 75 m.
Câu 3 :
Một công ty truyền thông đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là 0,5 và dự án 2 là 0,6. Khả năng thắng thầu của 2 dự án là 0,4. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2. a) Xác suất \(P(\overline A ) = 0,5\) và \(P(\overline B ) = 0,4\).
Đúng
Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
Đúng
Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4.
Đúng
Sai
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8.
Đúng
Sai
Đáp án
a) Xác suất \(P(\overline A ) = 0,5\) và \(P(\overline B ) = 0,4\).
Đúng
Sai
b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3.
Đúng
Sai
c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4.
Đúng
Sai
d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8.
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc tính xác suất của biến cố đối, công thức xác suất toàn phần và công thức xác suất có điều kiện. Lời giải chi tiết :
a) Đúng. \(P(\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,5 = 0,5\); \(P(\overline B ) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4\). b) Đúng. C: “Thắng thầu đúng 1 dự án”. Có P(AB) = 0,4. \(P(A) = P(AB) + P(A\overline B ) \Leftrightarrow P(A\overline B ) = P(A) - P(AB) = 0,5 - 0,4 = 0,1\). \(P(B) = P(AB) + P(\overline A B) \Leftrightarrow P(\overline A B) = P(B) - P(AB) = 0,6 - 0,4 = 0,2\). \(P(C) = P(A\overline B ) + P(\overline A B) = 0,1 + 0,2 = 0,3\). c) Sai. \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{{0,4}}{{0,5}} = 0,8\). d) Sai. \(P(B|\overline A ) = \frac{{P(\overline A B)}}{{P(\overline A )}} = \frac{{0,2}}{{0,5}} = 0,4\).
Câu 4 :
Một máy bay đang di chuyển về phía sân bay. Tại thời điểm hiện tại, vị trí của máy bay là B(150;150;5000) (trong đó 5000m là độ cao của máy bay so với mặt đất). Máy bay đang di chuyển thẳng tới sân bay với vận tốc 700 km/h. Sân bay có tọa độ C(0;0;0) và máy bay đang tiến dần đến vị trí hạ cánh tại sân bay. a) Phương trình tham số của đường thẳng mà máy bay di chuyển theo là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 150 - 150t\\y = 150 - 150t\\z = 5000 - 5000t\end{array} \right.\).
Đúng
Sai
b) Khoảng cách từ vị trí hiện tại của máy bay B(150;150;5000) đến sân bay C(0;0;0) là \(\sqrt {15250000} \approx 3905,6\) km.
Đúng
Sai
c) Với vận tốc của máy bay là 700km/h, thời gian để máy bay hạ cánh là khoảng 5,5 giờ.
Đúng
Sai
d) Hệ thống kiểm soát không lưu yêu cầu liên lạc với máy bay khi nó còn cách sân bay 40km. Khi máy bay ở vị trí (6;6;200), hệ thống kiểm soát không lưu đã yêu cầu liên lạc với máy bay.
Đúng
Sai
Đáp án
a) Phương trình tham số của đường thẳng mà máy bay di chuyển theo là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 150 - 150t\\y = 150 - 150t\\z = 5000 - 5000t\end{array} \right.\).
Đúng
Sai
b) Khoảng cách từ vị trí hiện tại của máy bay B(150;150;5000) đến sân bay C(0;0;0) là \(\sqrt {15250000} \approx 3905,6\) km.
Đúng
Sai
c) Với vận tốc của máy bay là 700km/h, thời gian để máy bay hạ cánh là khoảng 5,5 giờ.
Đúng
Sai
d) Hệ thống kiểm soát không lưu yêu cầu liên lạc với máy bay khi nó còn cách sân bay 40km. Khi máy bay ở vị trí (6;6;200), hệ thống kiểm soát không lưu đã yêu cầu liên lạc với máy bay.
Đúng
Sai
Phương pháp giải :
a) Đường thẳng có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) và đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\). b, c, d) Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \(AB = \sqrt {{{({x_A} - {x_B})}^2} + {{({y_A} - {y_B})}^2} + {{({z_A} - {z_B})}^2}} \). Lời giải chi tiết :
a) Đúng. Máy bay di chuyển từ vị trí B đến C nên phương trình tham số của đường bay có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {BC} = ( - 150; - 150;5000)\) và đi qua điểm B(150;150;5000): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 150 - 150t\\y = 150 - 150t\\z = 5000 - 5000t\end{array} \right.\). b) Sai. \(BC = \sqrt {{{(0 - 150)}^2} + {{(0 - 150)}^2} + {{(0 - 5000)}^2}} = \sqrt {25045000} \approx 5004,5\) km. c) Sai. Thời gian để máy bay hạ cánh là \(t = \frac{{5004,5}}{{700}} \approx 7,15\) giờ. d) Sai. Khi máy bay ở vị trí (6;6;200), nó còn cách sân bay: \(d = \sqrt {{{(6 - 0)}^2} + {{(6 - 0)}^2} + {{(200 - 0)}^2}} = \sqrt {40072} \approx 200,18 > 40\) km. Vậy, khi đó hệ thống kiểm soát không lưu chưa yêu cầu liên lạc với máy bay.
Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh bằng I, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SA = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Tìm hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD) và tính khoảng cách từ điểm A đến hình chiếu đó. Lời giải chi tiết :
Trong mặt phẳng (SAD), kẻ \(AH \bot SD = \{ H\} \). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot CD\\CD \bot AD\end{array} \right.\) suy ra \(CD \bot (SAD)\), mà \(AH \subset (SAD)\) nên \(CD \bot AH\). Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SD\\AH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SCD)\) và AH cắt (SCD) tại H. Xét tam giác SAD vuông tại A có đường cao AH: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{SA.AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}.1}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2} = 0,5\).
Câu 2 :
Một nhân viên của bảo tàng nghệ thuật đang có kế hoạch giới thiệu nội dung cuộc triển lãm của bảo tàng đến ba trường học trong khu vực. Người đó muốn đến từng trường và quay trở lại bảo tàng sau khi thăm cả ba trường. Thời gian di chuyển (đơn vị: phút) giữa các trường học và giữa bảo tàng với mỗi trường học được mô tả trong hình vẽ.Tìm thời gian đi ít nhất để thực hiện chu trình trên.
Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Xét từng địa điểm và con đường mất ít thời gian di chuyển nhất tới địa điểm đó. Lời giải chi tiết :
Từ viện bảo tàng, thời gian di chuyển đến trường B là ngắn nhất: 19 phút.
Câu 3 :
Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 50 km và về phía Tây 20 km , đồng thời cách mặt đất 1 km. Xác định khoảng cách của chiếc máy bay với vị trí tại điểm xuất phát của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp rồi áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: \(AB = \sqrt {{{({x_A} - {x_B})}^2} + {{({y_A} - {y_B})}^2} + {{({z_A} - {z_B})}^2}} \). Lời giải chi tiết :
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox hướng về phía Bắc, trục Oy hướng về phía Tây, trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo km (như hình vẽ).
Chiếc máy bay có tọa độ (50;20;1).
Câu 4 :
Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol (P) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng 4 m. Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật CDEF sao cho chiều cao cửa đi là CD = 2m, phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({m^3}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp, từ đó tìm ra hàm số có đồ thị giới hạn phần diện tích cần tìm. Tính diện tích bằng cách sử dụng tích phân. Lời giải chi tiết :
Giả sử parabol (P) có phương trình là \(y = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). (P) đi qua ba điểm (0;4), (-2;0) và (2;0) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4 = a{.0^2} + b.0 + c\\0 = a{.2^2} + b.2 + c\\0 = a.{( - 2)^2} + b.( - 2) + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\). Vậy (P): \(y = - {x^2} + 4\). Điểm D và E thuộc đồ thị có tung độ bằng 2 nên hoành độ hai điểm đó là nghiệm của phương trình \( - {x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \). Theo đồ thị, \(D(\sqrt 2 ;2)\) và \(E( - \sqrt 2 ;2)\). Chiều rộng cánh cửa là \(DE = 2\sqrt 2 \) (m). Diện tích cánh cửa là \({S_{CDEF}} = 2.2\sqrt 2 = 4\sqrt 2 \) \(({m^2})\). Diện tích phần đồ thị (P) tạo với trục hoành là \(S = \int\limits_{ - 2}^2 {( - {x^2} + 4)dx} = \frac{{32}}{3}\) \(({m^2})\). Diện tích cần trang trí là \({S_1} = S - {S_{CDEF}} = \frac{{32}}{3} - 4\sqrt 2 = \frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}\) \(({m^2})\). Chi phí để trang trí là \(\frac{{32 - 12\sqrt 2 }}{3}.1,5 \approx 7,5\) (triệu đồng).
Câu 5 :
Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100 m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1 km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100 m. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Lập hàm số tính lợi nhuận theo x và tìm x để hàm số đạt giá trị lớn nhất. Lời giải chi tiết :
Gọi A là mục tiêu; B là vị trí chiến sỹ và BD là đường bơi của chiến sỹ. Gọi vận tốc bơi của chiến sỹ là 1 đơn vị vận tốc thì vận tốc chạy của chiến sỹ là 3 đơn vị vận tốc. Gọi x là quãng đường chiến sỹ bơi, hay BD = x (1 < x < 10). \(CD = \sqrt {{x^2} - 1} \); \(AD = AC - CD = 3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} \). Thời gian chiến sỹ đến được mục tiêu là: \(t = \frac{{3\sqrt {11} - \sqrt {{x^2} - 1} }}{3} + \frac{x}{1} = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\). Xét hàm \(f(x) = \sqrt {11} - \frac{1}{3}\sqrt {{x^2} - 1} + x\) có \(f'(x) = 1 - \frac{x}{{3\sqrt {{x^2} - 1} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\\x = - \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\end{array} \right.\). Bảng biến thiên:
Thời gian chiến sỹ đến mục tiêu ngắn nhất khi f(x) đạt giá trị nhỏ nhất, hay \(x = \frac{{3\sqrt 2 }}{4}\). Vậy chiến sĩ phải bơi \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}.100 = 75\sqrt 2 \approx 106\) (m).
Câu 6 :
Có hai hộp bóng bàn, các quả bóng bàn có kích thước và hình dạng như nhau. Hộp I chứa 3 bóng bàn màu trắng và 2 bóng bàn màu vàng, hộp II chứa 6 bóng bàn màu trắng và 4 bóng bàn màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng bàn ở hộp I bỏ vào hộp II rồi lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng bàn từ hộp II ra. Tính xác suất để quả bóng bàn lấy từ hộp II có màu vàng. Đáp án: Đáp án
Đáp án: Phương pháp giải :
Sử dụng công thức xác suất toàn phần. Lời giải chi tiết :
A: “Lấy được quả bóng vàng từ hộp II”. Vì lấy 4 trong số 5 quả bóng (3 trắng, 2 vàng) từ hộp I sang hộp II nên không thể xảy ra biến cố “không lấy được quả màu vàng nào từ hộp I” mà chỉ có 2 trường hợp xảy ra: Lấy được 1 hoặc 2 quả màu vàng. Do đó, nếu gọi B: “Trong 4 quả bóng lấy từ hộp I chỉ có 1 quả màu vàng”, thì ta có \(\overline B \): “Trong 4 quả bóng lấy từ hộp I có 2 quả màu vàng”. * TH1: B xảy ra: Ta có \(P(B) = \frac{{C_3^3.C_2^1}}{{C_5^4}} = \frac{2}{5}\). Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II có 9 quả bóng trắng và 5 quả bóng vàng. Do đó \(P(A|B) = \frac{5}{{14}}\). * TH2: \(\overline B \) xảy ra: Ta có \(P(\overline B ) = \frac{{C_3^2.C_2^2}}{{C_5^4}} = \frac{3}{5}\). Sau khi bỏ 4 quả ở hộp I sang hộp II thì hộp II có 8 quả bóng trắng và 6 quả bóng vàng. Do đó \(P(A|\overline B ) = \frac{6}{{14}} = \frac{3}{7}\). Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: \(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = \frac{2}{5}.\frac{5}{{14}} + \frac{3}{5}.\frac{3}{7} = 0,4\). |
