Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đề số 4 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Giải phương trình ${\tan ^2}3x - 1 = 0$.

A. $x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi$

B. $x =  \pm \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi$

C. $x =  \pm \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}$

D. $x =  \pm \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}$

Câu 2: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{{1 - 4\sin x}}{{\cos x}}$.

A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

B. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

D. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 3: Tính giá trị biểu thức $P = {\sin ^2}{45^0} - \cos {60^0}$.

A. $P = 0$                           B. $P = \dfrac{1}{2}$

C. $P = 1$                           D. $P =  - 1$

Câu 4: Giải phương trình ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - \cos 2x =  - \sqrt 2$.

A. $x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi$

B. $x = \dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi$

C. $x =  - \dfrac{\pi }{8} + k\pi$

D. $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi$

Câu 5: Phương trình nào sau đây có nghiệm?

A. $5\sin x - 2\cos x = 3$

B. $\sin x + \cos x = 2$

C. $\sin x - 4\cos x =  - 5$

D. $\cos x + \sqrt 3 \sin x = 3$

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số $y = 7\cos 5x - 1$.

A. $M = 7$                          B. $M = 5$

C. $M = 6$                          D. M = 8

Câu 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $9 - \cot x = 0$

B. $2\tan x + 9 = 0$

C. $1 - 4\sin x = 0$

D. $5 + 4\cos x = 0$

Câu 8: Giải phương trình $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1$.

A. $x = k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi$

B. $x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi$

C. $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$

D. $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi$

Câu 9: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.

A. $y = \sin x$                     B. $y = \cos x$

C. $y = \cot x$                     D. $y = \tan x$

Câu 10: Giải phương trình $2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0$.

A. $x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi$

B. $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi$

C. $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi$

D. $x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ;\,\,\,x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi$

Câu 11: Giải phương trình  $\tan \left( {2x} \right) = \tan {\rm{8}}{0^0}$.

A. $x = {40^0} + k{180^0}$

B. $x = {40^0} + k{90^0}$

C. $x = {40^0} + k{45^0}$

D. $x = {80^0} + k{180^0}$

Câu 12: Giải phương trình $1 + \cos x = 0$.

A. $x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$

B. $x = \pi  + k2\pi$

C. $x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

D. $x = k2\pi$

Câu 13: Giải phương trình $\sin 6x - \cos 4x = 0$.

A. $x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi$

B. $x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}$

C. $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{{2\pi }}{5}$

D. $x = k\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{{10}} + k\dfrac{\pi }{5}$

Câu 14: Giải phương trình $1 - 2\sin x = 0$.

A. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$

B. $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = -\dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$

D. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$

Câu 15: Cho phương trình $\cos 4x = 3m - 5$. Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

A. $- 1 \le m \le 1$              B. $\dfrac{4}{3} \le m \le 2$

C. $- 2 \le m \le \dfrac{4}{3}$         D. $\dfrac{4}{3} \le m \le 3$

Câu 16: Cho phương trình $2\cos 4x - {\rm{sin4}}x = m$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.

A. $- \sqrt 3  \le m \le \sqrt 3$

B. $m \le  - \sqrt 3 ;\,\,m \ge \sqrt 3$

C. $- \sqrt 5  \le m \le \sqrt 5$

D. $m \le  - \sqrt 5 ;\,\,m \ge \sqrt 5$

Câu 17: Giải phương trình ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin x$

A. $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.$

B. $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.$

D. $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{24}} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$

Câu 18: Giải phương trình ${\rm{sin3}}x - \sin x = 0$.

A. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.$

B. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$

D. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$

Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = {\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x + 9$.

A. $m = \dfrac{{15}}{2}$   B. $m = 5$

C. $m =  - \dfrac{5}{2}$     D. $m =  - 5$

Câu 20: Hàm số nào sau đây xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

A. $y = 7 - 4\tan x$             B. $y = \dfrac{7}{{{{\sin }^2}x}}$

C. $y = \dfrac{{\sin x + 1}}{{3 - \cos x}}$                  D. $y = \cot x$

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21: Giải các phương trình sau

$a) \, \sin 3x = \cos x$

$b) \, 2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 2$

Câu 22: Giải phương trình sau:

$2\sin x + \cos x - \sin 2x - 1 = 0$  

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Ta có: ${\tan ^2}3x - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {\tan 3x - 1} \right)\left( {\tan 3x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan 3x = 1\\\tan 3x =  - 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\3x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\\x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án D.

Câu 2:

Điều kiện xác định:$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án C.

Câu 3:

Ta có: $P = {\sin ^2}{45^0} - \cos {60^0}$ $= {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$

Chọn đáp án A.

Câu 4:

Ta có: ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2}}x - \cos 2x =  - \sqrt 2$ $\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2$

$\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1$ $\Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi$

$\Leftrightarrow 2x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi$ $\Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{8} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án C.

Câu 5:

Xét phương trình $5\sin x - 2\cos x = 3$ có: ${5^2} + {\left( { - 2} \right)^2} > {3^2}$

$\Rightarrow$ Phương trình $5\sin x - 2\cos x = 3$ có nghiệm.

Chọn đáp án A.

Câu 6:

Ta có: $y = 7\cos 5x - 1$ $\Rightarrow 7.\left( { - 1} \right) - 1 \le y \le 7.1 - 1$ $\Leftrightarrow  - 8 \le y \le 6$

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Ta có: $5 + 4\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - \dfrac{5}{4} < - 1$

$\Rightarrow$ phương trình  $5 + 4\cos x = 0$ vô nghiệm.

Chọn đáp án D.

Câu 8:

Ta có: $\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1$ $\Leftrightarrow 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x} \right) = 1$ $\Leftrightarrow 2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Ta có: $y = \cos x = \cos \left( { - x} \right) \Rightarrow$$y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Chọn đáp án B.

Câu 10:

Ta có: $2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {\sin x - 2} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 2(VN)\\\sin x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án C.

Câu 11:

Ta có: $\tan \left( {2x} \right) = \tan {\rm{8}}{0^0}$ $\Leftrightarrow 2x = {80^0} + k{180^0}$ $\Leftrightarrow x = {40^0} + k{90^0}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án B.

Câu 12:

Ta có: $1 + \cos x = 0$ $\Leftrightarrow \cos x =  - 1$ $\Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án B.

Câu 13:

Ta có: $\sin 6x - \cos 4x = 0$ $\Leftrightarrow \sin 6x = \cos 4x$$\Leftrightarrow \cos \left( {6x - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos 4x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - \dfrac{\pi }{2} = 4x + k2\pi \\6x - \dfrac{\pi }{2} =  - 4x + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án A.

Câu 14:

Ta có: $1 - 2\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án D.

Câu 15:

Phương trình $\cos 4x = 3m - 5$ có nghiệm khi và chỉ khi: $- 1 \le 3m - 5 \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} \le m \le 2$

Chọn đáp án B.

Câu 16:

Phương trình $2\cos 4x - {\rm{sin4}}x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi: ${2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow {m^2} \le 5$

$\Leftrightarrow  - \sqrt 5  \le m \le \sqrt 5$.

Chọn đáp án C.

Câu 17:

Ta có: ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin x$ $\Leftrightarrow 2\left( {\frac{1}{2}\sin 3x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x} \right) = 2\sin x$ $\Leftrightarrow 2\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 2\sin x$

$\Leftrightarrow \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin x$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \dfrac{\pi }{3} = x + k2\pi \\3x + \dfrac{\pi }{3} = \pi  - x + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án B.

Câu 18:

Ta có: ${\rm{sin3}}x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x = \sin x$

$\left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x = \pi  - x + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án D.

Câu 19:

Ta có: $y = {\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x + 9$ $= {\sin ^2}x - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 9$

$= 5{\sin ^2}x + 5$ $= 5\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right) \ge 5\left( {0 + 1} \right) = 5$

Chọn đáp án B.

Câu 20:

Ta có: $\cos x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow 3 - \cos x \in \left[ {2;4} \right]$

$\Rightarrow y = \dfrac{{\sin x + 1}}{{3 - \cos x}}$ luôn xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Chọn đáp án C.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21:

$a) \, \sin 3x = \cos x$ $\Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \dfrac{\pi }{2} - x + k2\pi \\3x = \pi  - \dfrac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};\,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi$

$\begin{array}{l}b)  2{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin 2x = 2 \\\Leftrightarrow 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} + \sqrt 3 \sin 2x = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 1\\   \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2}\cos 2x = \dfrac{1}{2} \\\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi }{6}\sin 2x - \sin \dfrac{\pi }{6}\cos 2x = \dfrac{1}{2}\\  \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2} \\\Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{6} = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi ;x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

Câu 22:

$\begin{array}{l}2\sin x + \cos x - \sin 2x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x + \cos x - 2\sin x\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x(1 - \cos x) - (1 - \cos x) = 0 \\\Leftrightarrow (1 - \cos x)(2\sin x - 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \cos x = 0\\2\sin x - 1 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = k2\pi ;\,x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;$ $x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi$

HocTot.Nam.Name.Vn