Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đề số 3 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Hàm số $y = \sin 3x.\cos x$ là một hàm số tuần hoàn có chu kì là

A. $\pi$                            B. $\dfrac{\pi }{4}$

C. $\dfrac{\pi }{3}$                           D. $\dfrac{\pi }{2}$

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y = {\sin ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1$

A. M = 2, m = -2          

B. M = 1,  m = 0

C. M = 4, m = -1                    

D. M = 2, m = -1

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {1 - \cos 2017x}$ là

A. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.   

B. $D = \mathbb{R}$.                        

C. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ;\,\dfrac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

D.  $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$.

Câu 4: Tìm chu kì T của hàm số $y = \cot 3x + \tan x$ là

A. $\pi$                                 B. $3\pi$

C. $\dfrac{\pi }{3}$                               D. $4\pi$

Câu 5: Cho hàm số $f\left( x \right) = \left| x \right|\sin x.$ Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho có tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.$            

B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.                           

C. Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.                                 

D. Hàm số có tập giá trị là $\left[ { - 1;\,1} \right].$

Câu 6: Trong các phương trình sau đây,phương trình nào có tập nghiệm là $x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi$ và $x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$

A. $\sin \,x = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }}$

B. $\sin \,x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

C. $\sin \,x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

D. $\sin \,x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}$

Câu 7: Phương trình $\tan \left( {3x - {{15}^0}} \right) = \sqrt 3$ có các nghiệm là:

A. $x = {60^0} + k{180^0}$

B. $x = {75^0} + k{180^0}$

C. $x = {75^0} + k{60^0}$

D. $x = {25^0} + k{60^0}$

Câu 8: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}\,x}} = 3\cot \, + \,\sqrt 3$ là:

A. $- \dfrac{\pi }{2}$                               B. $- \dfrac{{5\pi }}{6}$

C. $- \dfrac{\pi }{6}$                               D. $- \dfrac{{2\pi }}{3}$

Câu 9: Phương trình $sin x + cos x – 1 = 2sin xcos x$ có bao nhiêu nghiệm trên $\left[ {0;\,2\pi } \right]$ ?

A. 2.                       B. 3.

C. 4.                       D. 6.

Câu 10: Phương trình $\sin (x + {10^0}) = \dfrac{1}{2}\,\,({0^0} < x < {180^0})$ có nghiệm là:

A. $x = {30^0}$ và $x = {150^0}$

B. $x = {20^0}$ và $x = {140^0}$

C. $x = {40^0}$ và $x = {160^0}$

D. $x = {30^0}$ và$\,x = {140^0}$

Câu 11: Phương trình $\sin (5x + \dfrac{\pi }{2}) = m - 2$ có nghiệm khi:

A. $m \in \left[ {1;3} \right]$

B. $m \in \left[ { - 1;1} \right]$

C. $m \in R$

D. $m \in (1;3)$

Câu 12: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình $\cos x = 0$?

A. ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = 1$

B. ${\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} =  - 1$

C. ${\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{anx}} = 0$

D. $\cot x = 0$

Câu 13: Phương trình $m\tan x - \sqrt 3  = 0$ Có nghiệm khi

A. $m \ne 0$.

B. $m \in R$

C. $- 1 \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{m} \le 1$

D. $- 1 < \dfrac{{\sqrt 3 }}{m} < 1$

Câu 14: Phương trình $\sin x + m\cos x = \sqrt {10}$ có nghiệm khi:

A. $\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le  - 3\end{array} \right.$.

B. $\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 3\end{array} \right.$.

C. $\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m <  - 3\end{array} \right.$.

D. $- 3 \le m \le 3$.

Câu 15: Phương trình ${\rm{cos}}2x + \sin x = \sqrt 3 \left( {\cos x - \sin 2x} \right)$ có các nghiệm là:

A. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\\x =   \dfrac{{\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

B. $\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

C. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

D. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 16: Phương trình $\sin 5x.\cos 3x = \sin 7x.\cos 5x$ có tập nghiệm là:

A. $\left[ \begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

B. $\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

C. $\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\dfrac{\pi }{{10}}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

D. $\left[ \begin{array}{l}x = k\dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 17: Các giá trị của $m \in \left[ {a;b} \right]$ để phương trình $\cos 2x + {\sin ^2}x + 3\cos x - m = 5$ có nghiệm thì:

A. $a + b = 2$.

B. $a + b = 12$.

C. $a + b =  - 8$.

D. $a + b = 8$.

Câu 18: Chọn mệnh đề đúng:

A. $\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

B. $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

C. $\cos x \ne  - 1 \Leftrightarrow x \ne  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 19: Nghiệm của phương trình $\tan 4x.\cot 2x = 1$ là:

A. $k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

B. $\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

C. $\dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}$

D. Vô nghiệm

Câu 20: Nghiệm của phương trình $\cos 3x = \cos x$ là:

A. $k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

B. $k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

C. $\dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

D. $k\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21: Giải các phương trình sau

$a)  3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0$

$b)  {\sin ^2}2x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x = 1$

Câu 22: Giải phương trình sau:

$\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sin x - 3\cos x = 3$  

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1	2	3	4	5
A	D	B	A	B
6	7	8	9	10
C	D	A	C	B
11	12	13	14	15
A	D	A	A	A
16	17	18	19	20
A	C	B	D	C

Câu 1:

Ta có: $y = \sin 3x.\cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)$

Hàm số $y = \sin 4x$ tuần hoàn với chu kì ${T_1} = \frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}$

Hàm số $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kì ${T_2} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi$

Vậy hàm số $y = \frac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)$ tuần hoàn với chu kì $T = BCNN\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right) = \pi$

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Ta có: $y = {\sin ^4}x - 2{\cos ^2}x + 1$ $= {\sin ^4}x - 2\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 1$

$= {\sin ^4}x + 2{\sin ^2}x - 1$ $= {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2$

$\begin{array}{l} 0 \le {\sin ^2}x \le 1\\ \Rightarrow 1 \le {\sin ^2}x + 1 \le 2\\ \Rightarrow 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} \le 4\\ \Rightarrow - 1 \le {\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right)^2} - 2 \le 2 \end{array}$

$\Rightarrow  - 1 \le y \le 2$

Chọn đáp án D.

Câu 3:

Điều kiện xác định: $1 - \cos 2017x \ge 0 \Leftrightarrow  \cos 2017x \le 1$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

Vậy TXĐ: D=R.

Chọn đáp án B.

Câu 4:

Chu kì của hàm số $y = \cot 3x + \tan x$ là $T = \pi$

Chọn đáp án A.

Câu 5:

Hàm số $y = \left| x \right|\sin x$ có:

$\begin{array}{l}y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right|\sin \left( { - x} \right)\\ =  - \left| x \right|\sin x =  - y\left( x \right)\end{array}$

Nên là hàm số lẻ.

Do đó đồ thị hàm số nhận gốc $O$ làm tâm đối xứng.

Chọn đáp án B.

Câu 6:

Ta có: $\sin x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Ta có: $\tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \sqrt 3$ $\Leftrightarrow \tan \left( {3x - {{15}^ \circ }} \right) = \tan {60^ \circ }$

$\Leftrightarrow 3x - {15^ \circ } = {60^ \circ } + k{180^ \circ }$

$\Leftrightarrow x = {25^ \circ } + k{60^ \circ }\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đán án D.

Câu 8:

Điều kiện: $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \pm k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có: $\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = 3\cot x + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\cot ^2}x - 3\cot x = 0\\ \Leftrightarrow \cot x\left( {\sqrt 3 \cot x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cot x = 0\\ \cot x = \sqrt 3 \end{array} \right. \end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Nghiệm âm lớn nhất là $- \dfrac{\pi }{2}$

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Ta có: $\sin x + \cos x - 1 = 2\sin x\cos x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} \end{array}$

$\Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x - \cos x} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x + \cos x = 0\\ 1 - \sin x - \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = - \cos x\\ \sin x + \cos x = 1 \end{array} \right. \end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Các nghiệm trên $\left[ {0;2\pi } \right]$ là $\left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4};0;2\pi ;\dfrac{\pi }{2}} \right\}$

Chọn đáp án C.

Câu 10:

Ta có: $\sin (x + {10^0}) = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sin (x + {10^0}) = \sin {30^ \circ }$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {10^ \circ } = {30^ \circ } + k{360^ \circ }\\x + {10^ \circ } = {150^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {20^ \circ } + k{360^ \circ }\\x = {140^ \circ } + k{360^ \circ }\end{array} \right.$

${0^0} < x < {180^0}$ $\Rightarrow {x_1} = {20^0},{x_2} = {140^0}$

Chọn đáp án B.

Câu 11:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m - 2 \le 1 \Leftrightarrow m \in \left[ {1;3} \right]$

Chọn đáp án A.

Câu 12:

Ta có: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\cot x = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án D.

Câu 13:

Với m=0 thì $\sqrt 3  = 0$ (vô nghiệm)

Với $m\ne 0$ thì $m\tan x - \sqrt 3  = 0$ $\Leftrightarrow \tan x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{m}$ (luôn có nghiệm)

Phương trình có nghiệm khi $m \ne 0$

Chọn đáp án A.

Câu 14:

Ta có: $\sin x + m\cos x = \sqrt {10}$

Phương trình có nghiệm khi: $1 + {m^2} \ge 10 \Leftrightarrow {m^2} \ge 9$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 3\\m \ge 3\end{array} \right.$

Chọn đáp án A.

Câu 15:

Ta có: ${\rm{cos}}2x + \sin x = \sqrt 3 \left( {\cos x - \sin 2x} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x + \sin x = \sqrt 3 \cos x - \sqrt 3 \sin 2x\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = \sqrt 3 \cos x - \sin x\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x \end{array}$

$\Leftrightarrow \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{3} = x + \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{3} =  - x - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án A.

Câu 16:

Ta có: $\sin 5x.\cos 3x = \sin 7x.\cos 5x$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x + \sin 2x} \right)$

$\Leftrightarrow \sin 8x = \sin 12x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = 8x + k2\pi \\12x = \pi  - 8x + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = k2\pi \\ 20x = \pi + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án A.

Câu 17:

Ta có: $\cos 2x + {\sin ^2}x + 3\cos x - m = 5$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + 1 - {\cos ^2}x + 3\cos x - m = 5$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}x + 3\cos x - m - 5 = 0$

Đặt $t = \cos x$ với $t \in \left[ { - 1;1} \right]$ phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}{t^2} + 3t - m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} + 3t + \frac{9}{4} = m + \frac{{29}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {t + \frac{3}{2}} \right)^2} = m + \frac{{29}}{4}\end{array}$

$\begin{array}{l} - 1 \le t \le 1\\ \Rightarrow \frac{1}{2} \le t + \frac{3}{2} \le \frac{5}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{4} \le {\left( {t + \frac{3}{2}} \right)^2} \le \frac{{25}}{4}\\ \Rightarrow \frac{1}{4} \le m + \frac{{29}}{4} \le \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow -7 \le m \le -1\\ \Rightarrow m \in \left[ {-7;-1} \right]\end{array}$

Suy ra a=-7, b=-1 nên a+b=-8.

Chọn đáp án C.

Câu 18:

Ta có: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án B.

Câu 19:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos 4x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{4}\\x \ne k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$

Ta có: $\tan 4x.\cot 2x = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan 4x = \frac{1}{{\cot 2x}}\\ \Leftrightarrow \tan 4x = \tan 2x\\ \Leftrightarrow 4x = 2x + k\pi \\ \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}\left( {loai} \right) \end{array}$

Do đó phương trình vô nghiệm.

Chọn D

Câu 20:

Ta có: $\cos 3x = \cos x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x + k2\pi \\3x =  - x + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\quad  \Rightarrow x = k\dfrac{\pi }{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn đáp án C.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21:

$\begin{array}{l}a) 3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0\\ \,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0 & (1)\\3\cos 2x - 7 = 0\,\,(2)\end{array} \right.\\(1) \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2}\\(2) \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{7}{3}\end{array}$

Vì $\dfrac{7}{3} > 1$ nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\begin{array}{l}b)  {\sin ^2}2x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} + \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = 1\\  \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 4x + 1 + \cos 2x}}{2} = 1 \\\Leftrightarrow 2 - \cos 4x + \cos 2x = 2 \\\Leftrightarrow  - \cos 4x + \cos 2x = 0\\\Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x = 2x + k2\pi }\\{4x =  - 2x + k2\pi }\end{array}} \right.\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = k2\pi \\ 6x = k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = k\dfrac{\pi }{3}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = k\pi ;\,x = k\dfrac{\pi }{3}$

Câu 22:

$\begin{array}{l}\cos 2x + 3\sin 2x + 5\sin x - 3\cos x = 3\\  \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x + 3.2\sin x\cos x + 5\sin x - 3\cos x - 3 = 0\\\Leftrightarrow (6\sin x\cos x - 3\cos x) - (2{\sin ^2}x - 5\sin x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow 3\cos x(2\sin x - 1) - (2\sin x - 1)(\sin x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (2\sin x - 1)(3\cos x - \sin x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x - 1 = 0\\3\cos x - \sin x + 2 = 0\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{(1)}\\{(2)}\end{array}\\(1) \Leftrightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\(2) \Leftrightarrow 3\cos x - \sin x =  - 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}\cos x - \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\sin x = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }}\,\,(3)\end{array}$

Đặt $\dfrac{3}{{\sqrt {10} }} = \sin \alpha ;\,\,\dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = \cos \alpha$

Khi đó (3) trở thành

$\sin \alpha \cos x - \cos \alpha \sin x = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }}$

$\Leftrightarrow \sin (\alpha  - x) = \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha - x = \arcsin \left( { - \frac{2}{{\sqrt {10} }}} \right) + k2\pi \\ \alpha - x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{2}{{\sqrt {10} }}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  - \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi \\x = \alpha  - \pi  + \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi \end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ;\,x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;$$\,x = \alpha  - \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi ;$$\,x = \alpha  - \pi  + \arcsin \dfrac{{ - 2}}{{\sqrt {10} }} - k2\pi$

HocTot.Nam.Name.Vn