Bài 9 trang 100 SGK Hình học 12Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2 ; 4 ; -1), B(1 ; 4 ; -1), C(2 ; 4; 3), D(2 ; 2 ; -1). Video hướng dẫn giải Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2;4;−1),B(1;4;−1), C(2;4;3),D(2;2;−1). LG a Chứng minh rằng các đường thẳng AB,AC,AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Phương pháp giải: Ta xét các tích vô hướng →AB.→AC; →AB.→AD; →AC.→AD ⇒VABCD=16AB.AC.AD Lời giải chi tiết: a) Ta xét các tích vô hướng →AB.→AC; →AB.→AD; →AC.→AD Ta có: →AB=(−1;0;0), →AC=(0;0;4), →AD=(0;−2;0) →AB.→AC=(−1).0+0.0+0.4=0⇔→AB⊥→AC Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự. Ta có: VABCD =16.AB.AC.AD Mà AB=1;AC=4;AD=2 ⇒VABCD=16.1.4.2=43(đvtt) LG b Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D. Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, xác định tâm I và tính bán kính R=IA. Lời giải chi tiết: Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. IA=IB=IC ⇒I nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Tam giác ACD vuông tại đỉnh A nên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD là đường thẳng vuông góc với mp (ACD) và đi qua trung điểm M của cạnh huyền CD. Như vậy MI//AB (1) Ta lại có IA=IB. Gọi P là trung điểm của AB, ta có: MI=AP = 12AB (2) Từ (1) và (2), suy ra →MI=12→AB Với C(2;4;3),D(2;2;−1) ⇒M(2;3;1) →MI=(a−2;b−3;c−1);→AB=(−1;0;0) {a−2=12(−1)⇒a=32b−3=12.0⇒b=3c−1=12.0⇒c=1 Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là I(32;3;1) Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là r thì: r2=IA2 =(2−32)2+(4−3)2+(−1−1)2=214 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD: (x−32)2+(y−3)2+(z−1)2=214. Cách khác: Gọi mặt cầu (S):x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 đi qua 4 điểm A, B, C, D. Khi đó {4+16+1+4a+8b−2c+d=01+16+1+2a+8b−2c+d=04+16+9+4a+8b+6c+d=04+4+1+4a+4b−2c+d=0 ⇔{4a+8b−2c+d=−212a+8b−2c+d=−184a+8b+6c+d=−294a+4b−2c+d=−9 ⇔{2a=−38b−2c+d=−158b+6c+d=−234b−2c+d=−3 ⇔{a=−32b=−3c=−1d=7 Vậy phương trình mặt cầu là: x2+y2+z2−3x−6y−2z+7=0 hay (x−32)2+(y−3)2+(z−1)2=214 LG b Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (ABD). Phương pháp giải: Xác định VTPT của mặt phẳng α, viết phương trình mặt phẳng α khi biết VTPT. α tiếp xúc với (S) ⇔d(I;(α))=R với I;R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S). Lời giải chi tiết: Ta có:AC⊥(ABD); (α)//(ABD) nên nhận →AC làm vectơ pháp tuyến. Ta có →AC=(0;0;4) nên (α):z+D=0. Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (α) là: d(I,(α))=|1+D|1=|1+D| Để mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu, ta cần có: d(I,(α))=r⇒|1+D|=√212 Ta có hai mặt phẳng: TH1: 1+D=√212⇒D=√212−1 ⇒(α1):z+√212−1=0 TH2: 1+D=−√212⇒D=−√212−1 ⇒(α2):z−√212−1=0 HocTot.Nam.Name.Vn
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
|