Bài 59 trang 62 SGK Toán 8 tập 1

LG a.

Cho biểu thức  $\dfrac{{xP}}{{x + P}} - \dfrac{{yP}}{{y - P}}$. Thay $P = \dfrac{{xy}}{{x - y}}$ vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Phương pháp giải:

Thay đa thức $P$ vào biểu thức đã cho rồi áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Với $P = \dfrac{{xy}}{{x - y}}$

Ta có: 

$\dfrac{{xP}}{{x + P}} - \dfrac{{yP}}{{y - P}}$

$= \dfrac{{x.\dfrac{{{x}y}}{{x - y}}}}{{x + \dfrac{{xy}}{{x - y}}}} - \dfrac{{y.\dfrac{{x{y}}}{{x - y}}}}{{y - \dfrac{{xy}}{{x - y}}}}$

$= \dfrac{{\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{x\left( {x - y} \right) + xy}}{{x - y}}}} - \dfrac{{\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{y\left( {x - y} \right) - xy}}{{x - y}}}}$

$= \dfrac{{\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{{x^2} - xy + xy}}{{x - y}}}} - \dfrac{{\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{xy - {y^2} - xy}}{{x - y}}}}$

$= \dfrac{{\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{{x^2}}}{{x - y}}}} - \dfrac{{\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}}}{{\dfrac{{ - {y^2}}}{{x - y}}}}$

$= \left( {\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}:\dfrac{{x^2}}{{{x-y}}}} \right) - \left( {\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}:\dfrac{{-y^2}}{{ x- {y}}}} \right)$

$= \left( {\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}}.\dfrac{{x - y}}{{{x^2}}}} \right) - \left( {\dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}.\dfrac{{x - y}}{{ - {y^2}}}} \right)$

$= \dfrac{{{x^2}y}}{{{x^2}}} - \dfrac{{x{y^2}}}{{ - {y^2}}} = y-(x)=y + x = x + y$

LG b.

Cho biểu thức $\dfrac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}}$. Thay $P = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}$ và $Q = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}$ vào biểu thức đã cho rồi rút gọn biểu thức.

Phương pháp giải:

Thay các đa thức $P, \; Q$ vào biểu thức đã cho rồi áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia đa thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Với $P = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}$ và $Q = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}$

Ta có:

$\dfrac{{{P^2}{Q^2}}}{{{P^2} - {Q^2}}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{{{\left[ {\dfrac{{2xy.2xy}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}} \right]}^2}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}}}$

$= \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 4{x^2}{y^2}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left[ {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}^2}}}}}$

$= \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}\left[ {{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left[ {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}^2}}}}}$

$= \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}.({x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4} - {x^4} + 2{x^2}{y^2} - {y^4})}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}$

$= \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{4{x^2}{y^2}.4{x^2}{y^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}}}$

$= \dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}:\dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {{x^4} - {y^4}} \right)}^2}}}{{{{\left( {4{x^2}{y^2}} \right)}^2}}} = 1$

HocTot.Nam.Name.Vn