Bài 5 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11

Video hướng dẫn giải

*) Ta phải chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).

Tức là \(C_{k+1}=\displaystyle {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)

Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh

Đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2...A_k\) có \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp).

Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_2,...,A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo.

Ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là

\(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\)

\( = \dfrac{{{k^2} - 3k}}{2} + k - 1 \)

\(= \dfrac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2}\)

\(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \)

\( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\)

\(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Chú ý:

Trên đây là cách chứng minh bằng quy nạp, các em có thể dễ dàng chứng minhcông thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:

Cách 2: Đa giác lồi \(n\) cạnh có \(n\) đỉnh.

Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.

⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:

\(C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\)\( = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có \(n\) cạnh là:

\(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \dfrac{{{n^2} - n - 2n}}{2}\)\( = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{2} = \dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)

Vậy ta có đpcm.

HocTot.Nam.Name.Vn