Bài 1 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\dfrac{n(3n+1)}{2}$

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Lời giải chi tiết:

Với $n = 1$, vế trái chỉ có một số hạng là $2$, vế phải bằng $\dfrac{1.(3.1+1)}{2} = 2$.

Do đó hệ thức a) đúng với $n = 1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$

Giả sử đẳng thức a) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là

$S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1$ $=  \dfrac{k(3k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh

$S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1)$ $=   \dfrac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k+1}= [2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1] + (3(k + 1) – 1)$

$= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2$

$= \dfrac{{k(3k + 1)}}{2} + 3k + 2$

$= \dfrac{{3{k^2} + k + 6k + 4}}{2}$

$= \frac{{3{k^2} + 7k + 4}}{2}$ $= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 4} \right)}}{2}$ $= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 3 + 1} \right)}}{2}$ $= \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{2}$

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi $n \in {\mathbb N}^*$

LG b

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{n}}=\dfrac{2^{n}-1}{2^{n}}$

Lời giải chi tiết:

Với $n = 1$, vế trái bằng $\dfrac{1}{2}$, vế phải bằng $\dfrac{1}{2}$, do đó hệ thức đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức b) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là

$S_{k}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}$ $=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}$

$=S_{k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}$

$=\dfrac{2^{k}-1}{2^{k}}+\dfrac{1}{2^{k+1}}$ $= \dfrac{{2\left( {{2^k} - 1} \right) + 1}}{{{2^{k + 1}}}}$ $= \dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$

(điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi $n \in {\mathbb N}^*$

LG c

${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}$ $= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Lời giải chi tiết:

Với $n = 1$, vế trái bằng $1$, vế phải bằng $\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1$ nên hệ thức c) đúng với $n = 1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức c) đúng với $n = k  ≥ 1$, tức là

$S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}$ $=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\dfrac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

${S_{k + 1}}= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}+(k+1)^2$

$= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}$

$= \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}$

$\begin{array}{l} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 2 + 1} \right)}}{6}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6} \end{array}$

(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  $n \in {\mathbb N}^*$.

HocTot.Nam.Name.Vn