Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức: Video hướng dẫn giải Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2n≥2, ta có các bất đẳng thức: LG a 3n>3n+13n>3n+1 Phương pháp giải: Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n=2n=2. Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến n=k≥2n=k≥2 (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến n=k+1n=k+1. Khi đó đẳng thức đúng với mọi n∈N∗n∈N∗. Lời giải chi tiết: Với n=2n=2 ta có: 32=9>7=3.2+132=9>7=3.2+1 (đúng) Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2n=k≥2, tức là 3k>3k+13k>3k+1 (1). Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1n=k+1, tức là cần chứng minh: 3k+1>3(k+1)+1=3k+43k+1>3(k+1)+1=3k+4 Nhân hai vế của (1) với 33, ta được: 3k+1>9k+33k+1>9k+3 ⇔3k+1>3k+4+6k−1⇔3k+1>3k+4+6k−1 Vì k≥2⇒6k−1≥11>0k≥2⇒6k−1≥11>0 nên 3k+1>3k+4+11>3k+4=3(k+1)+1).3k+1>3k+4+11>3k+4=3(k+1)+1). Tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1n=k+1. Vậy 3n>3n+13n>3n+1 với mọi số tự nhiên n≥2n≥2. LG b 2n+1>2n+32n+1>2n+3 Lời giải chi tiết: Với n=2n=2 thì 22+1=8>7=2.2+322+1=8>7=2.2+3 (đúng) Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k≥2n=k≥2, tức là 2k+1>2k+32k+1>2k+3 (2) Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n=k+1n=k+1, nghĩa là phải chứng minh 2k+2>2(k+1)+32k+2>2(k+1)+3 ⇔2k+2>2k+5⇔2k+2>2k+5 Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 22, ta được: 2k+2>4k+62k+2>4k+6 ⇔2k+2>2k+5+2k+1⇔2k+2>2k+5+2k+1 Vì k≥2⇒2k+1>0k≥2⇒2k+1>0 nên 2k+2>2k+52k+2>2k+5. Tức là bất đẳng thức đúng với n=k+1n=k+1. Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức 2n+1>2n+32n+1>2n+3 đúng với mọi số tự nhiên n≥2n≥2. Cách khác: + Với n=2n=2 thì bất đẳng thức ⇔8>7⇔8>7 (luôn đúng). + Giả sử bđt đúng khi n=k≥2n=k≥2, nghĩa là 2k+1>2k+3.2k+1>2k+3. Ta chứng minh đúng với n=k+1n=k+1 tức là chứng minh: 2k+2>2(k+1)+3.2k+2>2(k+1)+3. Thật vậy, ta có: 2k+2=2.2k+1>2.(2k+3)=4k+6=2k+2+2k+4.>2k+2+3=2.(k+1)+3 (Vì 2k+4>3 với mọi k≥2) ⇒(2) đúng với n=k+1. Vậy 2n+1>2n+3 với mọi n≥2. HocTot.Nam.Name.Vn
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
|