Bài 2 trang 33 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chữ nhật $ABCD, AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I$. Gọi $H, K, L$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AD, BC, KC$ và $IC$. Chứng minh hai hình thang $JLKI$ và $IHDC$ đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có: $J, L, K, I$ là trung điểm của $CI, CK, CB, CA$ nên

$\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CJ}$ $\Rightarrow {V_{\left( {C,2} \right)}}\left( J \right) = I$

$\overrightarrow{CK}=2\overrightarrow{CL}$ $\Rightarrow {V_{\left( {C,2} \right)}}\left( L \right) = K,$

$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CK}$ $\Rightarrow {V_{\left( {C,2} \right)}}\left( K \right) = B,$

$\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CI}$ ${V_{\left( {C,2} \right)}}\left( I \right) = A$

Do đó ${V_{\left( {C,2} \right)}}\left( {JLKI} \right) = IKBA$.

Lại có, ${D_I}\left( I \right) = I,{D_I}\left( K \right) = H$

${D_I}\left( B \right) = D,{D_I}\left( A \right) = C$

Nên ${D_I}\left( {IKBA} \right) = IHDC$.

Do đó tồn tại phép đồng dạng (hợp bởi phép vị tự và phép đối xứng tâm) biến hình thang $JLKI$ thành hình thang $IHDC$.

Vậy hai hình thang $JLKI$ và hình thang $IHDC$ đồng dạng.

Cách khác:

+ $I$ là trung điểm $AC; BD; HK$

$\Rightarrow {\rm{ }}{_I}\left( H \right) = K{\rm{ }};{_I}\left( D \right) = B{\rm{ }};{_I}\;\left( C \right) = {\rm{ }}A.$

$⇒$ Hình thang $IKBA$ đối xứng với hình thang $IHDC$ qua $I$ (1)

+ $J; L; K; I$ lần lượt là trung điểm của $CI; CK; CB; CA$

 

$⇒$ Hình thang $JLKI$ là ảnh của hình thang $IKBA$ qua phép vị tự tâm $C$ tỉ số $\frac 1 2$

$⇒$ Hình thang $JLKI$ là ảnh của hình thang $IHDC$ qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng tâm $I$ và phép vị tự tâm$C$ tỉ số $\frac 1 2$.

$⇒ IJKI$ và $IHDC$ đồng dạng.

 HocTot.Nam.Name.Vn