Bài 3 trang 33 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $I (1;1)$ và đường trong tâm $I$ bán kính $2$. Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm $O$, góc $45^{\circ}$ và phép vị tự tâm $O$, tỉ số $\sqrt{2}$.

Lời giải chi tiết

+ Gọi $({I_1};{\rm{ }}{R_1}) = {\rm{ }}{Q_{\left( {O;{\rm{ }}45} \right)}}\;\left( {I;{\rm{ }}R} \right)$ (Phép quay đường tròn tâm $I,$ bán kính $R$ qua tâm $O$ một góc $45^0).$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {I_1} = {Q_{\left( {O;{\rm{ }}45} \right)}}\;\left( I \right)\\ {R_1} = R \end{array} \right.$

Xác định $I_1$:

Ta có:

$\begin{array}{l} {I_1} = {Q_{\left( {O;{\rm{ }}45} \right)}}\;\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O{I_1} = OI\\ \widehat {IO{I_1}} = {45^o} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O{I_1} = OI = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \\ \widehat {IO{I_1}} = {45^o} \Leftrightarrow {I_1} \in Oy \end{array} \right.\\ \Rightarrow {I_1}\left( {0;\sqrt 2 } \right) \end{array}$

+ Gọi $I_2\left( {x'';y''} \right) = {V_{\left( {O;\sqrt 2 } \right)}}\left( I_1 \right)$ ta có:

$\overrightarrow {OI_2} = \sqrt 2\overrightarrow {OI_1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = 2.0 = 0\\y'' = \sqrt 2.\sqrt 2 =2\end{array} \right.$

$\Rightarrow I''\left( {0;2 } \right)$

Do đó phép vị tự tâm $O$, tỉ số $\sqrt{2}$ biến đường tròn tâm $I_1$, bán kính R thành đường tròn tâm $I_2\left( {0;2 } \right)$; bán kính $R_2 = \sqrt 2 R = 2\sqrt 2$.

Vậy phương trình đường tròn tâm $I_2$, bán kính $R_2$ là ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8$.

Chú ý:

Cách khác để tìm $I_1$ (chỉ dùng cho trắc nghiệm) như sau:

Gọi $I_1(x';y') = {Q_{\left( {I;{{45}^0}} \right)}}\left( I \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos 45 - 1.\sin 45 = 0\\y' = 1.\sin 45 + 1.\cos 45 = \sqrt 2 \end{array} \right.$ $\Rightarrow I_1\left( {0;\sqrt 2 } \right)$

 HocTot.Nam.Name.Vn