Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12

LG a

Viết phương trình các mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ song song với nhau và lần lượt chứa $d$ và $d'$.

Phương pháp giải:

+ Mặt phẳng $(α)$ chính là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $d'$

+ Mặt phẳng $\beta$ chính là mặt phẳng chứa $d'$ và song song với $d$

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(α)$ chính là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $d'$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a  = (-1; 1; -1)$.

$d'$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'}  = (2; 1; 1)$

Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ của $(α)$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow {a'}$ nên: $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'} } \right] = \left( {2; - 1;3} \right)$

Đường thẳng $d$ chứa điểm $A(2; -1; 1)$. Mặt phẳng $(α)$ chứa $d$ nên chứa điểm $A$. Phương trình của $(α)$:

$2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow  2x - y - 3z - 2 = 0$

Mặt phẳng $(\beta)$ chính là mặt phẳng chứa $d'$ và song song với $d$ nên cũng nhận $\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right)$ là VTPT và đi qua điểm $B\left( {2;0;1} \right)$

Suy ra phương trình mặt phẳng $(β)$: $2(x-2)-y-3(z-1)=0 \Leftrightarrow  2x - y - 3z - 1 = 0$

LG b

Lấy hai điểm $M(2 ; -1 ; 1)$ và $M'(2 ; 0 ; 1)$ lần lượt trên $d$ và $d'$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(β)$ và khoảng cách từ $M'$ đến mặt phẳng $(α)$. So sánh hai khoảng cách đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $d (M,(β))$ =${{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 1} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}$

$d\left( {M';\left( \alpha  \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1.0 - 3.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {14} }}$

$\Rightarrow d(M,(β)) = d(M', (α))$

 HocTot.Nam.Name.Vn