Bài 10 trang 54 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp $S. ABCD$ có $AB$ và $CD$ không song song. Gọi $M$ là một điểm thuộc miền trong của tam giác $SCD$.

a) Tìm giao điểm $N$ của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(SBM)$.

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SAC)$.

c) Tìm giao điểm $I$ của đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(SAC)$.

d) Tìm giao điểm $P$ của $SC$ và mặt phẳng $(ABM)$, từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABM)$.

Lời giải chi tiết

a) Trong $(SCD)$ kéo dài $SM$ cắt $CD$ tại $N$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} N \in CD\\ N \in SM \subset \left( {SMB} \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow N = CD \cap \left( {SBM} \right)$

b) $(SBM) ≡ (SBN)$. 

Dễ thấy $S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBM} \right)$.

Trong $(ABCD)$ gọi $O=AC\cap BN$ 

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\ O \in BN \subset \left( {SBN} \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBN} \right)$

Do đó: $SO=(SAC)\cap(SBM)$.

c) Trong $(SBN)$ gọi $I$ là giao của $MB$ và $SO$. Mà $SO \subset \left( {SAC} \right)$

Do đó: $I=BM\cap (SAC)$

d) Trong $(SAC)$, gọi $P = AI \cap SC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} P \in AI \subset \left( {ABM} \right)\\ P \in SC \end{array} \right.$ $\Rightarrow P = SC \cap \left( {ABM} \right)$

Lại có $P \in SC$, mà $SC \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow P \in \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow {\rm{ }}P \in \left( {AMB} \right) \cap \left( {SCD} \right).$

Lại có: $M ∈ (SCD)$ (gt)

$\Rightarrow M \in \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)$

Vậy giao tuyến của $(MAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $MP$.

Cách khác:

Câu d có thể dựng hình bằng cách khác như sau: 

Trong $(ABCD)$ , gọi $K = AB \cap CD$. Khi đó $\left( {ABM} \right) \equiv \left( {AKM} \right)$

Trong $(SCD)$, gọi $P= MK\cap SC$. Lại có $MK \subset \left( {ABM} \right)$.

Do đó: $P=SC\cap (ABM)$

Trong $(SDC)$ gọi $Q=MK\cap SD$, $MK \subset \left( {ABM} \right) \Rightarrow Q = SD \cap \left( {ABM} \right)$.

$\Rightarrow PQ \subset \left( {ABM} \right),\,\,PQ \subset \left( {SCD} \right)$$\Rightarrow PQ = \left( {SCD} \right) \cap \left( {ABM} \right)$.

HocTot.Nam.Name.Vn